(1) 有下列式子：① $ \sqrt{|-2|} $；② $ \sqrt{-3^{2}} $；③ $ \sqrt{x + 1}(x ＞ -1) $；④ $ \sqrt{(2a - 1)^{2}} $；⑤ $ \sqrt[3]{4} $；⑥ $ \sqrt{a^{2}+b^{2}} $. 其中是二次根式的有(填序号).

①③④⑥

(2) $ (\sqrt{2})^{2} = $，$ (\sqrt{0})^{2} = $，$ (2\sqrt{2})^{2} = $.

$(\sqrt{2})^{2} = 2$
$(\sqrt{0})^{2} = 0$
$(2\sqrt{2})^{2} = 2^2 × (\sqrt{2})^2 = 4 × 2 = 8$

(3) 若 $ \sqrt{3x - 1} $ 在实数范围内有意义，则 $ x $ 能取的最小整数值是.

1

要使$\sqrt{3x - 1}$在实数范围内有意义，则被开方数必须是非负数，即：
$3x - 1 ≥ 0$
解不等式：
$3x ≥ 1$
$x ≥ \frac{1}{3}$
因为$x$需要取最小整数值，且$\frac{1}{3} \approx 0.333$，所以大于等于$0.333$的最小整数是$1$。

3. $ x $ 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{x + 2} $； (2) $ \sqrt{5 - x} $； (3) $ \sqrt{\frac{1}{1 + x}} $；
(4) $ \sqrt{x^{2}+2} $； (5) $ \sqrt{-x} $； (6) $ \frac{1}{\sqrt{x - 2}} $；
(7) $ \sqrt{2 - x} + \sqrt{2x + 3} $； *(8) $ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $.

(1) $x ≥ -2$；
(2) $x ≤ 5$；
(3) $x ＞ -1$；
(4) 全体实数；
(5) $x ≤ 0$；
(6) $x ＞ 2$；
(7) $-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2$；
(8) $x ≥ 0$ 且 $x ≠ 1$；

(1) $\sqrt{x + 2}$ 有意义，则：
$x + 2 ≥ 0$，
解得：$x ≥ -2$。
(2) $\sqrt{5 - x}$ 有意义，则：
$5 - x ≥ 0$，
解得：$x ≤ 5$。
(3) $\sqrt{\frac{1}{1 + x}}$ 有意义，则分母不能为0，且内部大于0：
$1 + x ＞ 0$，
解得：$x ＞ -1$，且$x≠-1（由于分母不能为0，此条件已包含在x ＞ -1中）$。
(4) $\sqrt{x^{2} + 2}$，由于 $x^{2} ≥ 0$，所以 $x^{2} + 2 ＞ 0$，对于所有实数x都有意义。
(5) $\sqrt{-x}$ 有意义，则：
$-x ≥ 0$，
解得：$x ≤ 0$，即 $x$ 为非正实数。
(6) $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义，则分母不能为0，且内部大于0：
$x - 2 ＞ 0$，
解得：$x ＞ 2$。
(7) $\sqrt{2 - x} + \sqrt{2x + 3}$，需要同时满足两个根式有意义：
$\begin{cases}2 - x ≥ 0, \\2x + 3 ≥ 0,\end{cases}$
解得：$-\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2$。
(8) $\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$，分母不能为0，且根式内部大于等于0：
$\begin{cases}x ≥ 0, \\\sqrt{x} - 1 ≠ 0,\end{cases}$
从第二个不等式得 $x ≠ 1$，
结合得：$x ≥ 0$ 且 $x ≠ 1$；$x≠ 1$已经包含$x\ge0$且不等于1的情况中的非法值，所以最终解为$x ≥ 0$ 且 $x ≠ 1$。

4. 计算：
(1) $ (\sqrt{5})^{2} $； (2) $ -(\sqrt{0.1})^{2} $； (3) $ ( \frac{\sqrt{3}}{2} )^{2} $；
(4) $ \frac{1}{3} ( \sqrt{\frac{9}{2}a} )^{2}(a ≥ 0) $； (5) $ ( -2\sqrt{\frac{1}{2}} )^{2} $； *(6) $ (\sqrt{x^{2}+1})^{2} - (\sqrt{x^{2}})^{2} $.

(1) 5
(2) -0.1
(3) $\frac{3}{4}$
(4) $\frac{3}{2}a$
(5) 2
(6) 1

(1) 根据二次根式的性质 $ (\sqrt{a})^{2} = a $（其中 $ a ≥ 0 $），
$ (\sqrt{5})^{2} = 5 $。
(2) 根据二次根式的性质 $ -(\sqrt{a})^{2} = -a $（其中 $ a ≥ 0 $），
$ -(\sqrt{0.1})^{2} = -0.1 $。
(3) 根据二次根式的性质及分数的平方公式 $ ( \frac{a}{b} )^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} $，
$ ( \frac{\sqrt{3}}{2} )^{2} = \frac{(\sqrt{3})^{2}}{2^{2}} = \frac{3}{4} $。
(4) 根据二次根式的性质 $ ( \sqrt{\frac{9}{2}a} )^{2} = \frac{9}{2}a $（其中 $ a ≥ 0 $），
$ \frac{1}{3} ( \sqrt{\frac{9}{2}a} )^{2} = \frac{1}{3} × \frac{9}{2}a = \frac{3}{2}a $。
(5) 根据平方运算及二次根式的性质，
$ (-2\sqrt{\frac{1}{2}})^{2} = (-2)^{2} × ( \sqrt{\frac{1}{2}} )^{2} = 4 × \frac{1}{2} = 2 $。
(6) 根据二次根式的性质 $ (\sqrt{a})^{2} = a $（其中 $ a ≥ 0 $），
$ (\sqrt{x^{2} + 1})^{2} - (\sqrt{x^{2}})^{2} = (x^{2} + 1) - x^{2} = 1 $。