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5. 《九章算术》的“商功”卷主要讲述了圆柱、圆锥等立体图形体积的计算公式. 原文中有这样一句话：“今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺. 问：积几何？”其大意是，今有圆锥，底面周长为 3 丈 5 尺，高为 5 丈 1 尺. 问：它的体积是多少？（1 丈 = 10 尺，$π$ 取 3）
（1）求该圆锥的体积（结果精确到 1 立方尺）.
（2）原文在计算圆锥体积时给出了这样的算法：“下周自乘，以高乘之，三十六而一.”其大意是：底面周长平方，再乘高，除以 36. 你能解释这里的算法吗？
（1）求该圆锥的体积（结果精确到 1 立方尺）.
（2）原文在计算圆锥体积时给出了这样的算法：“下周自乘，以高乘之，三十六而一.”其大意是：底面周长平方，再乘高，除以 36. 你能解释这里的算法吗？
答案
5. (1) 根据题意，该圆锥的底面周长为 3 丈 5 尺，即 35 尺，高为 5 丈 1 尺，即 51 尺. 计算，得底面半径为 $ \dfrac { 35 } { 2 π } $ 尺，故它的体积为 $ \dfrac { 1 } { 3 } π · ( \dfrac { 35 } { 2 π } ) ^ { 2 } · 51 \approx 1735 $ (立方尺).
(2) 设圆锥的底面周长为 $ C $，底面半径为 $ r $，圆锥的高为 $ h $，则 $ r = \dfrac { C } { 2 π } $，圆锥的体积为 $ \dfrac { 1 } { 3 } π r ^ { 2 } h = \dfrac { 1 } { 3 } π ( \dfrac { C } { 2 π } ) ^ { 2 } h = \dfrac { C ^ { 2 } h } { 12 π } = \dfrac { C ^ { 2 } h } { 36 } $. 因此，在 $ π $ 取 3 时，圆锥的体积可化为“底面周长平方，再乘高，除以 36”.
(2) 设圆锥的底面周长为 $ C $，底面半径为 $ r $，圆锥的高为 $ h $，则 $ r = \dfrac { C } { 2 π } $，圆锥的体积为 $ \dfrac { 1 } { 3 } π r ^ { 2 } h = \dfrac { 1 } { 3 } π ( \dfrac { C } { 2 π } ) ^ { 2 } h = \dfrac { C ^ { 2 } h } { 12 π } = \dfrac { C ^ { 2 } h } { 36 } $. 因此，在 $ π $ 取 3 时，圆锥的体积可化为“底面周长平方，再乘高，除以 36”.
