17. (★★) 有下列二次根式的运算：① $\sqrt{2} × \sqrt{6} = 2\sqrt{3}$；② $\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$；③ $\dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}\sqrt{5}$；④ $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$.其中正确的有 【 】

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

C

①$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，正确；②$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，正确；③$\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$，正确；④$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，错误。正确的有3个。

18. (★★) 由海伦 - 秦九韶公式可知，若一个三角形的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，记 $p = \dfrac{a + b + c}{2}$，则该三角形的面积为 $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.如图，请你利用海伦 - 秦九韶公式计算 $△ ABC$ 的面积，其结果为 【 】


A.$\dfrac{15}{2}\sqrt{7}$
B.$5\sqrt{7}$
C.$\dfrac{15}{4}\sqrt{7}$
D.$10$

C

根据题意，三角形 $△ABC$ 的三边长分别为 $a=5$，$b=4$，$c=6$。
首先计算半周长 $p$：
$p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{5 + 4 + 6}{2} = \dfrac{15}{2}$。
然后代入海伦公式计算面积 $S$：
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$
$= \sqrt{\dfrac{15}{2} × ( \dfrac{15}{2} - 5 ) × ( \dfrac{15}{2} - 4 ) × ( \dfrac{15}{2} - 6 )}$
$= \sqrt{\dfrac{15}{2} × \dfrac{5}{2} × \dfrac{7}{2} × \dfrac{3}{2}}$
$= \sqrt{\dfrac{15 × 5 × 7 × 3}{16}}$
$= \dfrac{15 \sqrt{7}}{4}$

19. (★★) 若一个长方体的长为 $2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，宽为 $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，高为 $3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，则它的体积为$\mathrm{cm}^{3}$.

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长方体体积=长×宽×高，即$2\sqrt{6} × 2\sqrt{3} × 3\sqrt{2}$。先计算系数：$2×2×3=12$；再计算根号部分：$\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6×3×2}=\sqrt{36}=6$；所以体积为$12×6=72\ \mathrm{cm}^{3}$。

20. (★★) 观察下列各式：① $\sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；② $\sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = 3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$；③ $\sqrt{3 + \dfrac{1}{5}} = 4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$；$···$ 请用含 $n(n ≥ 1$ 且 $n$ 为整数) 的式子写出你猜想的规律：.

$\sqrt{n + \dfrac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\dfrac{1}{n + 2}}$（$n ≥ 1$的整数）。

观察以下等式：
① $\sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，
可以改写为：
$\sqrt{1 + \dfrac{1}{1 + 2}} = (1 + 1)\sqrt{\dfrac{1}{1 + 2}}$，
② $\sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = 3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，
可以改写为：
$\sqrt{2 + \dfrac{1}{2 + 2}} = (2 + 1)\sqrt{\dfrac{1}{2 + 2}}$，
③ $\sqrt{3 + \dfrac{1}{5}} = 4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，
可以改写为：
$\sqrt{3 + \dfrac{1}{3 + 2}} = (3 + 1)\sqrt{\dfrac{1}{3 + 2}}$，
通过观察，发现等式左边根号内为$n$加上$\dfrac{1}{n + 2}$，等式右边为$(n + 1)$乘以根号内的$\dfrac{1}{n + 2}$，
因此，可以猜想规律为：
$\sqrt{n + \dfrac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\dfrac{1}{n + 2}}$，其中$n ≥ 1$且$n$为整数。

21. (★★) 计算：
(1) $\sqrt{18a} - \sqrt{\dfrac{1}{8}a} + 4\sqrt{0.5a}$；
(2) $\sqrt{24} × (- \sqrt{\dfrac{2}{3}} + 3\sqrt{\dfrac{5}{6}} + \sqrt{5})$；
(3) $(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})$；
(4) $(3\sqrt{6} - \sqrt{15})^{2}$；
(5) $\dfrac{\sqrt{27} × \sqrt{6}}{\sqrt{18}} + (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$；
(6) $(\sqrt{3} + 2)^{3} × (\sqrt{3} - 2)^{3}$.

(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{18a}-\sqrt{\frac{1}{8}a}+4\sqrt{0.5a}\\=&3\sqrt{2a}-\frac{1}{4}\sqrt{2a}+4×\frac{\sqrt{2a}}{2}\\=&3\sqrt{2a}-\frac{1}{4}\sqrt{2a} + 2\sqrt{2a}\\=&(3-\frac{1}{4}+2)\sqrt{2a}\\=&\frac{19}{4}\sqrt{2a}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{24}×(-\sqrt{\frac{2}{3}}+3\sqrt{\frac{5}{6}}+\sqrt{5})\\=&2\sqrt{6}×(-\sqrt{\frac{2}{3}})+2\sqrt{6}×3\sqrt{\frac{5}{6}}+2\sqrt{6}×\sqrt{5}\\=&2\sqrt{6×\frac{2}{3}}×(-1)+6\sqrt{6×\frac{5}{6}}+2\sqrt{30}\\=&-4 + 6\sqrt{5}+2\sqrt{30}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})\\=&3\sqrt{3}×2\sqrt{3}-3\sqrt{3}×3\sqrt{2}+2\sqrt{2}×2\sqrt{3}-2\sqrt{2}×3\sqrt{2}\\=&18-(9\sqrt{6}) + 4\sqrt{6}-12\\=&6 - 5\sqrt{6}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(3\sqrt{6}-\sqrt{15})^{2}\\=&(3\sqrt{6})^{2}-2×3\sqrt{6}×\sqrt{15}+(\sqrt{15})^{2}\\=&54-18\sqrt{10}+15\\=&69 - 18\sqrt{10}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{27}×\sqrt{6}}{\sqrt{18}}+(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\\=&\frac{3\sqrt{3}×\sqrt{6}}{\sqrt{18}}+3 - 1\\=&\frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{18}}+2\\=&3 + 2\\=&5\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&(\sqrt{3}+2)^{3}×(\sqrt{3}-2)^{3}\\=&[(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)]^{3}\\=&(3 - 4)^{3}\\=&(-1)^{3}\\=& - 1\end{aligned}$