1. (★)为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动.在此次活动中，若每位老师带 30 名学生，则还剩 7 名学生没有老师带；若每位老师带 31 名学生，就会有一位老师少带 1 名学生.
(1)设参加此次研学活动的老师有 $ x $ 位，学生有 $ y $ 名，可列出二元一次方程组：，解得.
(2)现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：

学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车. 甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用.
我们可以这样来考虑问题：
①设租用 $ m $ 辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 $ W $ 元，根据题意列不等式(组)：，从而求出自变量 $ m $ 的取值范围为.
②根据题意，我们可以找到租车的总费用 $ W $ (单位：元)与租用甲型客车的数量 $ m $ (单位：辆)之间的关系，从而列出函数解析式：.
③由于 $ m $ 取整数，所以共有种不同的租车方案，为节省费用，应选择其中哪种方案呢？我们可以根据一次函数的性质来解决：
∵ 比例系数0，
∴ $ W $ 随 $ m $ 的增大而.
∴ 当 $ m = $时，$ W_{\mathrm{最小}} = $.
∴ 租甲型车辆，乙型车辆，费用最少，最少是元.

（1）$\begin{cases} y=30x+7 \\ y=31x-1 \end{cases}$；$x=8$，$y=247$
（2）①$8 - m$；$35m + 30(8 - m) ≥ 255$；$3 ≤ m ≤ 8$且$m$为整数
②$W = 80m + 2560$
③6；$＞$；增大；3；2800；3；5；2800

2. (★)解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的，以此作为解决问题的数学模型.

自变量；函数关系

解决含有多个变量的问题时，选取能影响其他变量的变量作为自变量，再根据条件寻求反映实际问题的函数关系作为数学模型。

3. (★★)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售. 经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多 2 元，用 1 000 元购进甲种粽子的个数与用 1 200 元购进乙种粽子的个数相同.
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共 200 个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的 2 倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为 12 元/个、15 元/个，设购进甲种粽子 $ m $ 个，两种粽子全部售完时获得的利润为 $ W $ 元.
①求 $ W $ 关于 $ m $ 的函数解析式，并求 $ m $ 的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？

(1)设甲种粽子每个进价为$x$元，则乙种粽子每个进价为$(x + 2)$元。
由题意得：$\frac{1000}{x} = \frac{1200}{x + 2}$
解得：$1000(x + 2) = 1200x$
$1000x + 2000 = 1200x$
$200x = 2000$
$x = 10$
经检验，$x = 10$是原方程的解，且符合题意。
则乙种粽子进价为$10 + 2 = 12$元。
答：甲种粽子每个进价10元，乙种粽子每个进价12元。
(2)①购进甲种粽子$m$个，则购进乙种粽子$(200 - m)$个。
甲种粽子每个利润为$12 - 10 = 2$元，乙种粽子每个利润为$15 - 12 = 3$元。
$W = 2m + 3(200 - m) = -m + 600$
由题意得：$\begin{cases}m ≥ 2(200 - m) \\ m ＞ 0 \\ 200 - m ＞ 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m ≥ \frac{400}{3} \\ 0 ＜ m ＜ 200\end{cases}$，即$\frac{400}{3} ≤ m ＜ 200$，又$m$为正整数，所以$134 ≤ m ≤ 199$（$m$为整数）。
②$W = -m + 600$，$k = -1 ＜ 0$，$W$随$m$增大而减小。
当$m = 134$时，$W$最大，此时乙种粽子个数为$200 - 134 = 66$个。
最大利润$W = -134 + 600 = 466$元。
答：购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时获得最大利润，最大利润466元。