5. 如图所示, 点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上, $ \angle COD = 90° $, $ OE $ 是 $ \angle BOD $ 的平分线, $ OC $ 为 $ \angle BOE $ 的平分线, 则 $ \angle BOC = $______.

30°

【分析】
解题时先梳理已知条件：①点O在直线AB上，可得∠AOB为平角；②∠COD=90°；③OE、OC分别是∠BOD、∠BOE的角平分线。我们可以采用设未知数的方法，把要求的∠BOC设为x，结合角平分线的性质，将∠BOD用含x的式子表示，再根据∠COD=∠BOD-∠BOC=90°建立等式，即可求出x的值。
【解析】
解：设∠BOC = x，
∵ OC为∠BOE的平分线，
∴ ∠BOE = 2∠BOC = 2x，
又
∵ OE是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOD = 2∠BOE = 2×2x = 4x，
已知∠COD = 90°，且∠COD = ∠BOD - ∠BOC，
代入得：4x - x = 90°，
即3x = 90°，解得x = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用角平分线的性质实现角度的等量转化，通过设未知数列方程的思路能更清晰地梳理角度之间的关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

6. 如图所示, $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点, $ \angle BOC = 80° $, $ OE $ 平分 $ \angle BOC $ 且 $ \angle AOF : \angle COF = 3 : 2 $.
(1) 求 $ \angle AOF $ 的度数;
(2) 试说明 $ OC $ 平分 $ \angle EOF $.

解:
(1)因为∠BOC=80°,　所以∠AOC=180°−∠BOC=180°−80°=100°.　因为∠AOF∶∠COF=3∶2,∠AOF+∠COF=∠AOC,所以∠AOF=$\frac{3}{5}$×100°=60°.
(2)因为∠AOF=60°,　所以∠COF=100°−∠AOF=40°.　又因为OE平分∠BOC,且∠BOC=80°,　所以∠COE=40°.　所以∠COF=∠COE.　所以OC平分∠EOF.

【分析】
(1) 首先观察图形，O是直线AB上的点，所以∠AOB是平角，度数为180°。已知∠BOC的度数，用平角减去∠BOC就能得到∠AOC的度数。题目给出∠AOF和∠COF的比是3:2，且两个角相加正好等于∠AOC，将∠AOC的度数按3:2分配，就能算出∠AOF的度数。
(2) 要判断OC是否平分∠EOF，根据角平分线的定义，只需要证明∠COF和∠COE度数相等即可。先通过∠AOC和∠AOF的差算出∠COF的度数，再利用角平分线的性质算出∠COE的度数，对比两个角的度数即可得出结论。
【解析】
(1) 因为O为直线AB上一点，所以$∠ AOB=180°$，
已知$∠ BOC=80°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 80° = 100°$。
又因为$∠ AOF:∠ COF=3:2$，且$∠ AOF + ∠ COF = ∠ AOC = 100°$，
所以$∠ AOF = \frac{3}{3+2} × 100° = 60°$。
(2) 由(1)可知$∠ AOF=60°$，因此$∠ COF = ∠ AOC - ∠ AOF = 100° - 60° = 40°$。
因为OE平分$∠ BOC$，$∠ BOC=80°$，根据角平分线的定义，
$∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
所以$∠ COF = ∠ COE = 40°$，因此OC平分$∠ EOF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；
(2) OC平分$∠ EOF$，证明成立。
【知识点】
平角的定义，按比例求角度，角平分线的判定
【点评】
本题属于角的计算基础题，主要考察平角的性质、角度和差关系以及角平分线的定义与判定，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8

7. 如图所示, 将一张长方形纸片的一角斜折过去, 使顶点 $ A $ 落在 $ A' $ 处, $ BC $ 为折痕. 如果 $ BD $ 为 $ \angle A'BE $ 的平分线, 那么 $ \angle CBD $ 等于( )


A.$ 80° $
B.$ 90° $
C.$ 100° $
D.$ 70° $

B

【分析】
解题时首先利用折叠的性质，可知折痕BC是∠ABA'的角平分线，即∠ABC=∠A'BC；再结合BD是∠A'BE的平分线的已知条件，可得∠A'BD=∠EBD；最后根据A、B、E共线，∠ABA'与∠A'BE组成180°的平角，将∠CBD转化为两个半角的和，即可求出其度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A'BC，即$∠A'BC=\frac{1}{2}∠ABA'$。
∵BD为∠A'BE的平分线，
∴$∠A'BD=\frac{1}{2}∠A'BE$。
∵点A、B、E在同一直线上，
∴∠ABA'+∠A'BE=180°（平角的定义），
∴$∠CBD=∠A'BC+∠A'BD=\frac{1}{2}(∠ABA'+∠A'BE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，将折叠性质与角平分线定义结合考查，解题的核心是找到折叠前后相等的角，再利用平角的性质完成角度的转化计算。
【难度系数】
0.8

8. (新定义) 我们定义: 若两个角差的绝对值等于 $ 60° $, 则称这两个角互为“正角”, 其中一个角是另一个角的“正角”. 如: $ \angle 1 = 110° $, $ \angle 2 = 50° $, $ | \angle 1 - \angle 2 | = 60° $, 则 $ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $ 互为“正角”. 如图所示, 已知 $ \angle AOB = 120° $, 射线 $ OC $ 平分 $ \angle AOB $, $ \angle EOF $ 在 $ \angle AOB $ 的内部, 若 $ \angle EOF = 60° $, 则图中互为“正角”的角共有______对.

7

【分析】
解题首先要准确理解新定义：两个角差的绝对值等于60°就互为“正角”。第一步先根据已知条件求出定角的度数：已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，可算出∠AOC、∠BOC都是60°，又已知∠EOF=60°。第二步分类找符合条件的角对：先找和120°的∠AOB差60°的角，所有60°的角都满足，共3对；再利用角的和差关系，找其他差为60°的角对：由∠EOF=60°可得2对，由∠AOC、∠BOC为60°可得2对，最后相加得到总对数即可。
【解析】
解：
∵ ∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴ $∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又已知∠EOF=60°。
1. 与∠AOB互为“正角”的角：
$|∠ AOB - 60°|=60°$，符合定义，共3对：
$∠ AOB$与$∠ AOC$、$∠ AOB$与$∠ BOC$、$∠ AOB$与$∠ EOF$。
2. 由∠EOF=60°可得符合定义的角对共2对：
$|∠ AOF - ∠ AOE|=∠ EOF=60°$，$|∠ BOE - ∠ BOF|=∠ EOF=60°$。
3. 由∠AOC、∠BOC为60°可得符合定义的角对共2对：
$|∠ AOF - ∠ COF|=∠ AOC=60°$，$|∠ BOE - ∠ COE|=∠ BOC=60°$。
总对数：$3+2+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确把握新定义的规则，再结合角的基本性质逐一排查符合条件的角对，计数时要注意不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.65

9. 如图所示, 两个直角三角尺的直角顶点重合. 如果 $ \angle AOD = 128° $, 那么 $ \angle BOC = $______.

52°

【分析】
首先明确直角三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。观察图形可得角的和差关系：我们可以先通过∠AOD的度数求出∠AOC的度数，再利用∠AOB与∠AOC的差求出∠BOC；也可直接推导得到∠AOD+∠BOC=180°，代入数值直接计算结果。
【解析】
∵ 两个直角三角尺的直角顶点重合，
∴ ∠AOB = 90°，∠COD = 90°。
∵ ∠AOD = ∠COD + ∠AOC，且∠AOD=128°，
∴ ∠AOC = ∠AOD - ∠COD = 128° - 90° = 38°。
又
∵ ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 38° = 52°。
【答案】
52°
【知识点】
角的和差计算、直角的定义
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是结合图形找准各角之间的数量关系，牢记直角的度数为90°，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8

10. 如图所示, 点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上, 过 $ O $ 作射线 $ OC $, $ \angle BOC = 120° $, 一直角三角板的直角顶点与点 $ O $ 重合, 边 $ OM $ 与 $ OB $ 重合, 边 $ ON $ 在直线 $ AB $ 的下方. 若三角板绕点 $ O $ 以每秒 $ 10° $ 的速度沿逆时针方向旋转一周, 在旋转的过程中, 第 $ t $ s 时, 直线 $ ON $ 恰好平分锐角 $ \angle AOC $, 则 $ t $ 的值为______.

6或24

【分析】
首先根据平角的定义求出∠AOC的度数，再结合角平分线的性质得到∠AOC一半的角度；接下来根据“直线ON平分∠AOC”分两种情况讨论：一种是ON的反向延长线平分∠AOC，另一种是ON本身平分∠AOC，分别计算两种情况下三角板旋转的总角度，最后结合旋转速度求出对应的时间t即可。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-∠BOC=60°
直线ON平分∠AOC时，平分后得到的小角为$60°÷2=30°$，分两种情况：
1. 当ON的反向延长线平分∠AOC时，此时ON在直线AB下方，与OB的夹角为30°。
已知初始时ON与OB向下的夹角为90°，三角板逆时针旋转，此时旋转的角度为$90°-30°=60°$
则$t=60°÷10°/\mathrm{s}=6\mathrm{s}$
2. 当ON本身平分∠AOC时，此时ON在直线AB上方，与OA的夹角为30°。
此时三角板总共旋转的角度为$90°+180°-30°=240°$
则$t=240°÷10°/\mathrm{s}=24\mathrm{s}$
综上，t的值为6或24。
【答案】
6或24
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，旋转的性质
【点评】
本题解题的关键是明确“直线平分角”包含两种位置情况，不要只考虑其中一种导致漏解，同时要准确计算不同情况下旋转的总角度。
【难度系数】
0.65