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11. (新定义、开放性题)阅读下列材料,完成相应的任务：
|对称式|
|在一个含有多个字母的式子中,如果任意交换两个字母的位置,式子的值不变,这样的式子就叫作对称式。|
|例如：式子$abc$中任意两个字母交换位置,可得到式子$bac$,$acb$,$cba$,因为$abc = bac = acb = cba$,所以$abc$是对称式。而交换式子$a - b中字母a$,$b$的位置,得到式子$b - a$,因为$a - b \neq b - a$,所以$a - b$不是对称式。|
任务：
(1)有下列式子：①$a + b + c$,②$a^{2}+b^{2}$,③$a^{2}b$,④$\frac{a}{b}$,其中是对称式的是______(填序号)；
(2)写出一个只含有字母$x$,$y$的单项式,使该单项式是对称式,且次数为 6；
(3)已知$A = 2a^{2}+4b^{2}$,$B = a^{2}-2ab$,求$A + 2B$,并直接判断所得结果是不是对称式。
|对称式|
|在一个含有多个字母的式子中,如果任意交换两个字母的位置,式子的值不变,这样的式子就叫作对称式。|
|例如：式子$abc$中任意两个字母交换位置,可得到式子$bac$,$acb$,$cba$,因为$abc = bac = acb = cba$,所以$abc$是对称式。而交换式子$a - b中字母a$,$b$的位置,得到式子$b - a$,因为$a - b \neq b - a$,所以$a - b$不是对称式。|
任务：
(1)有下列式子：①$a + b + c$,②$a^{2}+b^{2}$,③$a^{2}b$,④$\frac{a}{b}$,其中是对称式的是______(填序号)；
(2)写出一个只含有字母$x$,$y$的单项式,使该单项式是对称式,且次数为 6；
(3)已知$A = 2a^{2}+4b^{2}$,$B = a^{2}-2ab$,求$A + 2B$,并直接判断所得结果是不是对称式。
答案
(1)①②
(2)满足条件的单项式为x³y³.
(3)因为A=2a²+4b²,B=a²-2ab，所以A+2B=2a²+4b²+2(a²-2ab)=2a²+4b²+2a²-4ab=4a²+4b²-4ab，结果是对称式.
解析
【分析】
本题需结合对称式的定义逐一分析求解：
(1) 判断对称式的核心是：交换式子中任意两个字母的位置，式子的值不变，据此对4个式子逐个验证即可；
(2) 要求含x、y的对称单项式且次数为6，首先单项式次数是所有字母指数和，要满足交换x、y后式子不变，则x和y的指数需相等，据此构造即可；
(3) 先根据整式加减的运算法则，将A、B代入A+2B，去括号合并同类项得到化简结果，再根据对称式定义判断即可。
【解析】
(1) 对各式子逐一验证：
①交换$a+b+c$中任意两个字母的位置，和不变，是对称式；
②交换$a^2+b^2$中a、b的位置得$b^2+a^2$，与原式相等，是对称式；
③交换$a^2b$中a、b的位置得$b^2a$，与原式不相等，不是对称式；
④交换$\frac{a}{b}$中a、b的位置得$\frac{b}{a}$，与原式不相等，不是对称式；
故填①②。
(2) 要求单项式含x、y，次数为6且为对称式，即x和y的指数和为6，交换x、y后式子不变，因此x、y的指数均为3，可写出单项式$x^3y^3$（答案不唯一，系数不为0即可）。
(3) 把$A = 2a^2+4b^2$，$B = a^2-2ab$代入$A+2B$得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+4b^2+2(a^2-2ab)\\&=2a^2+4b^2+2a^2-4ab\\&=4a^2+4b^2-4ab\end{aligned}$
交换a、b的位置得$4b^2+4a^2-4ba$，与原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1)①②
(2)$x^3y^3$（答案不唯一）
(3)$A+2B=4a^2+4b^2-4ab$，是对称式
【知识点】
对称式的定义，整式的加减运算，单项式的概念
【点评】
本题属于新定义类题型，首先要准确理解对称式的核心特征，再结合整式的相关运算规则求解，侧重考查对新概念的理解应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
本题需结合对称式的定义逐一分析求解：
(1) 判断对称式的核心是：交换式子中任意两个字母的位置，式子的值不变，据此对4个式子逐个验证即可；
(2) 要求含x、y的对称单项式且次数为6，首先单项式次数是所有字母指数和，要满足交换x、y后式子不变，则x和y的指数需相等，据此构造即可；
(3) 先根据整式加减的运算法则，将A、B代入A+2B，去括号合并同类项得到化简结果，再根据对称式定义判断即可。
【解析】
(1) 对各式子逐一验证：
①交换$a+b+c$中任意两个字母的位置，和不变，是对称式；
②交换$a^2+b^2$中a、b的位置得$b^2+a^2$，与原式相等，是对称式；
③交换$a^2b$中a、b的位置得$b^2a$，与原式不相等，不是对称式；
④交换$\frac{a}{b}$中a、b的位置得$\frac{b}{a}$，与原式不相等，不是对称式；
故填①②。
(2) 要求单项式含x、y，次数为6且为对称式，即x和y的指数和为6，交换x、y后式子不变，因此x、y的指数均为3，可写出单项式$x^3y^3$（答案不唯一，系数不为0即可）。
(3) 把$A = 2a^2+4b^2$，$B = a^2-2ab$代入$A+2B$得：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+4b^2+2(a^2-2ab)\\&=2a^2+4b^2+2a^2-4ab\\&=4a^2+4b^2-4ab\end{aligned}$
交换a、b的位置得$4b^2+4a^2-4ba$，与原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1)①②
(2)$x^3y^3$（答案不唯一）
(3)$A+2B=4a^2+4b^2-4ab$，是对称式
【知识点】
对称式的定义，整式的加减运算，单项式的概念
【点评】
本题属于新定义类题型，首先要准确理解对称式的核心特征，再结合整式的相关运算规则求解，侧重考查对新概念的理解应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
1. 下列计算正确的是( )
A.$4a - 2a = 2$
B.$2ab + 3ba = 5ab$
C.$a + a^{2}= a^{3}$
D.$5x^{2}y - 3xy^{2}= 2xy$
A.$4a - 2a = 2$
B.$2ab + 3ba = 5ab$
C.$a + a^{2}= a^{3}$
D.$5x^{2}y - 3xy^{2}= 2xy$
答案
B
解析
【分析】
要判断各选项计算是否正确，需结合同类项的定义与合并同类项的法则分析：首先判断两个单项式是否为同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同），只有同类项才能合并；合并同类项时，只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，按此思路逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $4a$和$2a$是同类项，合并结果为$(4-2)a=2a$，不是$2$，故A计算错误；
B. $2ab$和$3ba$所含字母都是$a、b$，且$a、b$的指数均为1，属于同类项，合并结果为$(2+3)ab=5ab$，故B计算正确；
C. $a$和$a^2$中$a$的指数分别为1和2，不是同类项，不能直接合并，故C计算错误；
D. $5x^2y$中$x$的指数为2、$y$的指数为1，$3xy^2$中$x$的指数为1、$y$的指数为2，相同字母的指数不对应相等，不是同类项，不能直接合并，故D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的核心是准确识别同类项，牢记只有同类项才可以合并，避免出现非同类项强行合并的错误。
【难度系数】
0.85
要判断各选项计算是否正确，需结合同类项的定义与合并同类项的法则分析：首先判断两个单项式是否为同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同），只有同类项才能合并；合并同类项时，只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，按此思路逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $4a$和$2a$是同类项，合并结果为$(4-2)a=2a$，不是$2$，故A计算错误；
B. $2ab$和$3ba$所含字母都是$a、b$，且$a、b$的指数均为1，属于同类项，合并结果为$(2+3)ab=5ab$，故B计算正确；
C. $a$和$a^2$中$a$的指数分别为1和2，不是同类项，不能直接合并，故C计算错误；
D. $5x^2y$中$x$的指数为2、$y$的指数为1，$3xy^2$中$x$的指数为1、$y$的指数为2，相同字母的指数不对应相等，不是同类项，不能直接合并，故D计算错误。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的核心是准确识别同类项，牢记只有同类项才可以合并，避免出现非同类项强行合并的错误。
【难度系数】
0.85
2. 若$a^{2}-2a - 5 = 0$,则$2a^{2}-4a + 1$等于( )
A.$5$
B.$6$
C.$10$
D.$11$
A.$5$
B.$6$
C.$10$
D.$11$
答案
D
解析
【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的结构关联，已知$a^2 - 2a - 5 = 0$，可先整理得到$a^2 - 2a$的数值；再看所求代数式$2a^2 - 4a + 1$，发现$2a^2 - 4a$恰好是$a^2 - 2a$的2倍，因此不需要求解a的具体值，将$a^2 - 2a$作为整体代入计算即可，大幅简化运算步骤。
【解析】
解：已知$a^2 - 2a - 5 = 0$，
移项得：$a^2 - 2a = 5$，
对所求代数式变形提取公因式：$2a^2 - 4a + 1 = 2(a^2 - 2a) + 1$，
将$a^2 - 2a = 5$代入上式：
$2×5 + 1 = 10 + 1 = 11$。
【答案】
D
【知识点】
整体代入求值，代数式变形，等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体代入的数学思想，运用该方法可避免求解未知数的具体值，有效降低运算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式和所求代数式的结构关联，已知$a^2 - 2a - 5 = 0$，可先整理得到$a^2 - 2a$的数值；再看所求代数式$2a^2 - 4a + 1$，发现$2a^2 - 4a$恰好是$a^2 - 2a$的2倍，因此不需要求解a的具体值，将$a^2 - 2a$作为整体代入计算即可，大幅简化运算步骤。
【解析】
解：已知$a^2 - 2a - 5 = 0$，
移项得：$a^2 - 2a = 5$，
对所求代数式变形提取公因式：$2a^2 - 4a + 1 = 2(a^2 - 2a) + 1$，
将$a^2 - 2a = 5$代入上式：
$2×5 + 1 = 10 + 1 = 11$。
【答案】
D
【知识点】
整体代入求值，代数式变形，等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体代入的数学思想，运用该方法可避免求解未知数的具体值，有效降低运算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
3. 在月历上,某些数满足一定的规律。如图所示的是某年 8 月份的月历,任意选择其中所示的含 4 个数字的方框部分(如图中阴影部分),设右上角的数字为$a$,则下列叙述中正确的是( )
[num = 第 3 题图]
A.左上角的数字为$a + 1$
B.左下角的数字为$a + 7$
C.右下角的数字为$a + 8$
D.方框中 4 个位置的数相加,结果是 4 的倍数
[num = 第 3 题图]A.左上角的数字为$a + 1$
B.左下角的数字为$a + 7$
C.右下角的数字为$a + 8$
D.方框中 4 个位置的数相加,结果是 4 的倍数
答案
D
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，左边数比右边数小1；同一列中相邻两个数相差7，上面数比下面数小7。题目设方框右上角数字为$a$，我们可以根据上述规律分别表示出方框中其余三个位置的数字，再逐一核对选项，最后计算四个数字的和判断是否为4的倍数即可。
【解析】
已知方框右上角的数字为$a$，根据月历数字规律：
1. 左上角数字与右上角数字同行，在其左侧，因此左上角数字为$a-1$，故A选项错误；
2. 左下角数字与左上角数字同列，在其下方，因此左下角数字为$(a-1)+7=a+6$，故B选项错误；
3. 右下角数字与右上角数字同列，在其下方，因此右下角数字为$a+7$，故C选项错误；
4. 四个位置的数相加的和为：$(a-1)+a+(a+6)+(a+7)=4a+12=4(a+3)$，显然$4(a+3)$是4的倍数，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是掌握月历中数字的排列特点，通过设未知数表示各位置数字，结合代数式化简即可验证选项结论。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，左边数比右边数小1；同一列中相邻两个数相差7，上面数比下面数小7。题目设方框右上角数字为$a$，我们可以根据上述规律分别表示出方框中其余三个位置的数字，再逐一核对选项，最后计算四个数字的和判断是否为4的倍数即可。
【解析】
已知方框右上角的数字为$a$，根据月历数字规律：
1. 左上角数字与右上角数字同行，在其左侧，因此左上角数字为$a-1$，故A选项错误；
2. 左下角数字与左上角数字同列，在其下方，因此左下角数字为$(a-1)+7=a+6$，故B选项错误；
3. 右下角数字与右上角数字同列，在其下方，因此右下角数字为$a+7$，故C选项错误；
4. 四个位置的数相加的和为：$(a-1)+a+(a+6)+(a+7)=4a+12=4(a+3)$，显然$4(a+3)$是4的倍数，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是掌握月历中数字的排列特点，通过设未知数表示各位置数字，结合代数式化简即可验证选项结论。
【难度系数】
0.7
4. (2024·长春中考)单项式$-2a^{2}b$的次数是______。
答案
3
解析
【分析】
解题时首先要回忆单项式次数的定义，先找到单项式里包含的所有字母，再确定每个字母的指数，注意单个字母的指数为1通常省略不写，最后将所有字母的指数相加，得到的和就是单项式的次数。本题先确定单项式$-2a^{2}b$中的字母是a和b，分别找到两个字母的指数后求和即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
在单项式$-2a^{2}b$中，字母$a$的指数为2，字母$b$的指数为1，
因此该单项式的次数为$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易遗漏字母b的指数为1，或者误把系数的数值代入计算，只要准确掌握单项式次数的定义就能正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆单项式次数的定义，先找到单项式里包含的所有字母，再确定每个字母的指数，注意单个字母的指数为1通常省略不写，最后将所有字母的指数相加，得到的和就是单项式的次数。本题先确定单项式$-2a^{2}b$中的字母是a和b，分别找到两个字母的指数后求和即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
在单项式$-2a^{2}b$中，字母$a$的指数为2，字母$b$的指数为1，
因此该单项式的次数为$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易遗漏字母b的指数为1，或者误把系数的数值代入计算，只要准确掌握单项式次数的定义就能正确作答。
【难度系数】
0.8
