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6. (新定义)对于任意的有理数$a$,$b$,如果满足$5(3a + 2b)-6(a + b)= 0$,那么我们称这一对数$a$,$b$为“相随数对”,记为$(a,b)$。若$(m,n)$是“相随数对”,则$3m + 2[3m+(2n - 1)]$等于( )
A.$-2$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
A.$-2$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
答案
A
解析
【分析】
首先读懂“相随数对”的定义，先将$(m,n)$代入定义给出的等式，通过去括号、合并同类项得到$m$与$n$的数量关系；再对所求的代数式逐步去括号、合并同类项化简，最后将得到的$m$、$n$的关系整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求出$m$、$n$的具体值。
【解析】
$\because (m,n)$是“相随数对”
$\therefore$ 代入定义等式得：$5(3m + 2n) - 6(m + n) = 0$
展开并化简左边：
$15m + 10n - 6m - 6n = 0$
合并同类项得：$9m + 4n = 0$
接下来化简所求代数式：
$3m + 2[3m + (2n - 1)]$
先去小括号：$=3m + 2(3m + 2n - 1)$
再去中括号：$=3m + 6m + 4n - 2$
合并同类项得：$=9m + 4n - 2$
将$9m + 4n = 0$整体代入得：
原式$=0 - 2 = -2$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题关键是准确理解新定义的运算规则，先得到字母间的数量关系，再通过整体代入的方法计算，可简化运算过程，降低计算量。
【难度系数】
0.7
首先读懂“相随数对”的定义，先将$(m,n)$代入定义给出的等式，通过去括号、合并同类项得到$m$与$n$的数量关系；再对所求的代数式逐步去括号、合并同类项化简，最后将得到的$m$、$n$的关系整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求出$m$、$n$的具体值。
【解析】
$\because (m,n)$是“相随数对”
$\therefore$ 代入定义等式得：$5(3m + 2n) - 6(m + n) = 0$
展开并化简左边：
$15m + 10n - 6m - 6n = 0$
合并同类项得：$9m + 4n = 0$
接下来化简所求代数式：
$3m + 2[3m + (2n - 1)]$
先去小括号：$=3m + 2(3m + 2n - 1)$
再去中括号：$=3m + 6m + 4n - 2$
合并同类项得：$=9m + 4n - 2$
将$9m + 4n = 0$整体代入得：
原式$=0 - 2 = -2$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，整体代入
【点评】
本题结合新定义考查整式的加减运算，解题关键是准确理解新定义的运算规则，先得到字母间的数量关系，再通过整体代入的方法计算，可简化运算过程，降低计算量。
【难度系数】
0.7
7. (2024·广州)(1)已知$A = - x + 2y - 4xy$,$B = - 3x - y + xy$。当$x + y = \frac{6}{7}$,$xy = - 1$时,求$2A - 3B$的值。
(2)是否存在数$m$,使关于$x$,$y的多项式(mx^{2}-x^{2}+3x + 1)-(5x^{2}-4y^{2}+3x)中不含x^{2}$项？若存在,求出$m$的值；若不存在,说明理由。
(2)是否存在数$m$,使关于$x$,$y的多项式(mx^{2}-x^{2}+3x + 1)-(5x^{2}-4y^{2}+3x)中不含x^{2}$项？若存在,求出$m$的值；若不存在,说明理由。
答案
解:
(1)2A-3B=2(-x+2y-4xy)-3(-3x-y+xy)=-2x+4y-8xy+9x+3y-3xy=7x+7y-11xy，当x+y=6/7,xy=-1时，原式=7(x+y)-11xy=7×6/7-11×(-1)=6+11=17.
(2)存在.(mx²-x²+3x+1)-(5x²-4y²+3x)=mx²-x²+3x+1-5x²+4y²-3x=(m-6)x²+4y²+1，因为关于x,y的多项式(mx²-x²+3x+1)-(5x²-4y²+3x)中不含x²项，所以m-6=0,解得m=6.
(1)2A-3B=2(-x+2y-4xy)-3(-3x-y+xy)=-2x+4y-8xy+9x+3y-3xy=7x+7y-11xy，当x+y=6/7,xy=-1时，原式=7(x+y)-11xy=7×6/7-11×(-1)=6+11=17.
(2)存在.(mx²-x²+3x+1)-(5x²-4y²+3x)=mx²-x²+3x+1-5x²+4y²-3x=(m-6)x²+4y²+1，因为关于x,y的多项式(mx²-x²+3x+1)-(5x²-4y²+3x)中不含x²项，所以m-6=0,解得m=6.
解析
【分析】
(1) 求解2A-3B的值时无需单独计算x、y的具体数值，先将A、B代入2A-3B的表达式，通过去括号、合并同类项将其化简为包含$x+y$和$xy$的形式，再将已知条件整体代入计算即可简化运算。
(2) 要判断是否存在满足条件的m，先将多项式去括号、合并同类项，整理出$x^2$项的系数；若多项式不含$x^2$项，说明$x^2$项的系数为0，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 先化简$2A-3B$：
$\begin{aligned}2A - 3B &= 2(-x + 2y - 4xy) - 3(-3x - y + xy) \\&= -2x + 4y - 8xy + 9x + 3y - 3xy \\&= 7x + 7y - 11xy \\&= 7(x+y) - 11xy\end{aligned}$
将$x + y = \frac{6}{7}$，$xy = -1$代入化简后的式子：
原式$=7×\frac{6}{7} - 11×(-1)=6+11=17$
(2) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&(mx^{2}-x^{2}+3x + 1)-(5x^{2}-4y^{2}+3x) \\=&mx^{2}-x^{2}+3x + 1-5x^{2}+4y^{2}-3x \\=&(m-6)x^2 + 4y^2 + 1\end{aligned}$
因为多项式不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$m-6=0$
解得$m=6$，因此存在满足条件的m。
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) 存在，$\boxed{m=6}$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，多项式的项的定义
【点评】
本题是整式运算的常规考查题型，第一问侧重整体代入思想的应用，可减少不必要的计算量；第二问的核心是掌握“多项式不含某一项即该项系数为0”的规则，能很好地巩固整式加减的基础知识点。
【难度系数】
0.75
(1) 求解2A-3B的值时无需单独计算x、y的具体数值，先将A、B代入2A-3B的表达式，通过去括号、合并同类项将其化简为包含$x+y$和$xy$的形式，再将已知条件整体代入计算即可简化运算。
(2) 要判断是否存在满足条件的m，先将多项式去括号、合并同类项，整理出$x^2$项的系数；若多项式不含$x^2$项，说明$x^2$项的系数为0，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 先化简$2A-3B$：
$\begin{aligned}2A - 3B &= 2(-x + 2y - 4xy) - 3(-3x - y + xy) \\&= -2x + 4y - 8xy + 9x + 3y - 3xy \\&= 7x + 7y - 11xy \\&= 7(x+y) - 11xy\end{aligned}$
将$x + y = \frac{6}{7}$，$xy = -1$代入化简后的式子：
原式$=7×\frac{6}{7} - 11×(-1)=6+11=17$
(2) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&(mx^{2}-x^{2}+3x + 1)-(5x^{2}-4y^{2}+3x) \\=&mx^{2}-x^{2}+3x + 1-5x^{2}+4y^{2}-3x \\=&(m-6)x^2 + 4y^2 + 1\end{aligned}$
因为多项式不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$m-6=0$
解得$m=6$，因此存在满足条件的m。
【答案】
(1) $\boxed{17}$；(2) 存在，$\boxed{m=6}$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，多项式的项的定义
【点评】
本题是整式运算的常规考查题型，第一问侧重整体代入思想的应用，可减少不必要的计算量；第二问的核心是掌握“多项式不含某一项即该项系数为0”的规则，能很好地巩固整式加减的基础知识点。
【难度系数】
0.75
8. 已知$x^{2}-3x + 1 = 0$,求整式$2x - 2[x-(2x^{2}-3x + 2)]-2x^{2}$的值。
答案
解:因为x²-3x+1=0，所以x²-3x=-1.所以2x-2[x-(2x²-3x+2)]-2x²=2x-2x+4x²-6x+4-2x²=2x²-6x+4=2(x²-3x)+4=2×(-1)+4=2.
解析
【分析】
本题若直接求解方程$x^2-3x+1=0$得到$x$的值再代入计算，过程复杂且超出现有知识范围，因此优先考虑整体代入法。解题分为两步：第一步先对所求整式进行去括号、合并同类项化简，第二步将已知方程变形为$x^2-3x=-1$，整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：由$x^2-3x+1=0$，移项可得$x^2-3x=-1$。
化简整式：
$\begin{aligned}&2x - 2[x-(2x^2-3x+2)]-2x^2\\=&2x - 2(x-2x^2+3x-2)-2x^2\\=&2x - 2(4x-2x^2-2)-2x^2\\=&2x - 8x + 4x^2 + 4 - 2x^2\\=&2x^2 - 6x + 4\\=&2(x^2-3x)+4\end{aligned}$
将$x^2-3x=-1$代入上式：
原式$=2×(-1)+4=-2+4=2$
【答案】
$2$
【知识点】
整式化简求值；整体代入法；去括号与合并同类项
【点评】
本题重点考查整式的运算技巧和整体代入的数学思想，不需要求解未知数的具体值，通过化简所求代数式匹配已知条件的形式，能大幅简化计算过程，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解方程$x^2-3x+1=0$得到$x$的值再代入计算，过程复杂且超出现有知识范围，因此优先考虑整体代入法。解题分为两步：第一步先对所求整式进行去括号、合并同类项化简，第二步将已知方程变形为$x^2-3x=-1$，整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：由$x^2-3x+1=0$，移项可得$x^2-3x=-1$。
化简整式：
$\begin{aligned}&2x - 2[x-(2x^2-3x+2)]-2x^2\\=&2x - 2(x-2x^2+3x-2)-2x^2\\=&2x - 2(4x-2x^2-2)-2x^2\\=&2x - 8x + 4x^2 + 4 - 2x^2\\=&2x^2 - 6x + 4\\=&2(x^2-3x)+4\end{aligned}$
将$x^2-3x=-1$代入上式：
原式$=2×(-1)+4=-2+4=2$
【答案】
$2$
【知识点】
整式化简求值；整体代入法；去括号与合并同类项
【点评】
本题重点考查整式的运算技巧和整体代入的数学思想，不需要求解未知数的具体值，通过化简所求代数式匹配已知条件的形式，能大幅简化计算过程，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因运算失误丢分。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示,已知圆的面积为 43,正方形的边长为 6,圆与正方形对应阴影部分的面积分别为$M和N$,则$M - N$的值为( )
A.$15$
B.$12$
C.$10$
D.$7$
[num = 第 9 题图]
A.$15$
B.$12$
C.$10$
D.$7$
[num = 第 9 题图]
答案
D
解析
【分析】
要计算M-N的值，首先观察图形特征：阴影M是圆的面积减去两者重叠的空白部分面积，阴影N是正方形的面积减去相同的重叠空白部分面积。我们不需要求出空白部分的具体面积，直接将M、N用含空白面积的式子表示，作差时空白部分会相互抵消，只需计算圆面积与正方形面积的差即可得到结果。
【解析】
设圆和正方形重叠的空白部分面积为S。
首先计算正方形的面积：正方形边长为6，面积为$6×6=36$。
根据图形可得：
$M = 圆的面积 - S = 43 - S$
$N = 正方形的面积 - S = 36 - S$
则$M-N=(43-S)-(36-S)=43-S-36+S=7$。
【答案】
D
【知识点】
面积差计算，整体代换思想，图形面积计算
【点评】
本题巧妙利用整体代换的思想，抵消了未知的重叠空白部分面积，不需要单独计算空白面积即可快速求解，有效简化了计算过程，考查对图形面积关系的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算M-N的值，首先观察图形特征：阴影M是圆的面积减去两者重叠的空白部分面积，阴影N是正方形的面积减去相同的重叠空白部分面积。我们不需要求出空白部分的具体面积，直接将M、N用含空白面积的式子表示，作差时空白部分会相互抵消，只需计算圆面积与正方形面积的差即可得到结果。
【解析】
设圆和正方形重叠的空白部分面积为S。
首先计算正方形的面积：正方形边长为6，面积为$6×6=36$。
根据图形可得：
$M = 圆的面积 - S = 43 - S$
$N = 正方形的面积 - S = 36 - S$
则$M-N=(43-S)-(36-S)=43-S-36+S=7$。
【答案】
D
【知识点】
面积差计算，整体代换思想，图形面积计算
【点评】
本题巧妙利用整体代换的思想，抵消了未知的重叠空白部分面积，不需要单独计算空白面积即可快速求解，有效简化了计算过程，考查对图形面积关系的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段以达到节水的目的。下表是该市自来水收费价目表。
|价目表| |
|每月用水量|价格|
|不超出$6m^{3}$的部分|$2元/m^{3}$|
|超出$6m^{3}但不超出10m^{3}$的部分|$4元/m^{3}$|
|超出$10m^{3}$的部分|$8元/m^{3}$|
|注：水费按月结算| |
(1)填空：若某户居民 2 月份用水$4m^{3}$,则应缴水费______元；
(2)若某户居民 3 月份用水$a m^{3}$(其中$6 ＜ a ＜ 10$),则应缴水费______元(用含$a$的代数式表示并化简)；
(3)若某户居民 4,5 月份共用水$15m^{3}$(5 月份用水量超过了 4 月份),设 4 月份用水$x m^{3}$,则该户居民 4,5 月份共缴水费多少元(用含$x$的代数式表示,并化简)？
|价目表| |
|每月用水量|价格|
|不超出$6m^{3}$的部分|$2元/m^{3}$|
|超出$6m^{3}但不超出10m^{3}$的部分|$4元/m^{3}$|
|超出$10m^{3}$的部分|$8元/m^{3}$|
|注：水费按月结算| |
(1)填空：若某户居民 2 月份用水$4m^{3}$,则应缴水费______元；
(2)若某户居民 3 月份用水$a m^{3}$(其中$6 ＜ a ＜ 10$),则应缴水费______元(用含$a$的代数式表示并化简)；
(3)若某户居民 4,5 月份共用水$15m^{3}$(5 月份用水量超过了 4 月份),设 4 月份用水$x m^{3}$,则该户居民 4,5 月份共缴水费多少元(用含$x$的代数式表示,并化简)？
答案
(1)8
(2)(4a-12)
(3)由5月份用水量超过了4月份,得到4月份用水量少于7.5m³，当4月份用水量少于5m³时,5月份用水量超过10m³，则4,5月份共缴水费2x+8(15-x-10)+4×4+6×2=(-6x+68)(元);当4月份用水量不低于5m³,但不超过6m³时,5月份用水量不少于9m³,但不超过10m³，则4,5月份共缴水费2x+4(15-x-6)+6×2=(-2x+48)(元);当4月份用水量超过6m³,但少于7.5m³时,5月份用水量超过7.5m³但少于9m³,则4,5月份共缴水费4(x-6)+6×2+4(15-x-6)+6×2=36(元).
解析
【分析】
本题是分段计费类应用题，解题需结合不同用水量区间的收费标准分步分析：
(1) 先判断2月份用水量4m³属于“不超出6m³”的区间，直接按对应单价计算即可；
(2) 3月份用水量a满足6＜a＜10，需分两部分计费：前6m³按2元/m³收费，超出6m³的部分按4元/m³收费，两部分费用相加后化简代数式；
(3) 首先由“5月份用水量超过4月份，总用水量15m³”可得4月份用水量x＜7.5m³，再根据4、5月份用水量所在的收费区间分三类讨论：①4月份用水量少于5m³时，5月份用水量超过10m³；②4月份用水量在5m³到6m³之间时，5月份用水量在9m³到10m³之间；③4月份用水量在6m³到7.5m³之间时，5月份用水量在7.5m³到9m³之间，分别按对应区间的收费标准计算两个月总费用即可。
【解析】
(1) 2月份用水$4m^3＜6m^3$，单价为2元/$m^3$，应缴水费：$4×2=8$（元）；
(2) 当$6＜a＜10$时，前$6m^3$费用为$6×2=12$元，超出$6m^3$的部分为$(a-6)m^3$，费用为$4(a-6)$元，总费用：
$12 + 4(a-6) = 4a -12$（元）；
(3) 由5月份用水量超过4月份，得$x ＜ 15 -x$，即$x ＜7.5$，分三类讨论：
① 当$x ＜5$时，$15-x ＞10$：
4月份费用为$2x$元；5月份费用：前$6m^3$费用$6×2=12$元，6~$10m^3$的$4m^3$费用$4×4=16$元，超出$10m^3$的部分为$(15-x-10)m^3$，费用为$8(15-x-10)$元，总费用为：
$2x + 12 + 16 + 8(5-x) = -6x +68$（元）；
② 当$5≤ x≤6$时，$9≤15-x≤10$：
4月份费用为$2x$元；5月份用水量在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(15-x-6)=48-4x$元，总费用为：
$2x + 48 -4x = -2x +48$（元）；
③ 当$6＜x＜7.5$时，$7.5＜15-x＜9$：
4月份用水量在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(x-6)=4x-12$元；5月份用水量也在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(15-x-6)=48-4x$元，总费用为：
$4x-12 +48 -4x =36$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{4a-12}$
(3) 当$x＜5$时，总水费为$\boxed{(-6x+68)}$元；当$5≤ x≤6$时，总水费为$\boxed{(-2x+48)}$元；当$6＜x＜7.5$时，总水费为$\boxed{36}$元。
【知识点】
分段计费问题，代数式化简，分类讨论思想
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，解题的关键是明确不同用水量对应的收费标准，结合取值范围合理分类讨论，避免出现漏算、错算费用区间的问题。
【难度系数】
0.6
本题是分段计费类应用题，解题需结合不同用水量区间的收费标准分步分析：
(1) 先判断2月份用水量4m³属于“不超出6m³”的区间，直接按对应单价计算即可；
(2) 3月份用水量a满足6＜a＜10，需分两部分计费：前6m³按2元/m³收费，超出6m³的部分按4元/m³收费，两部分费用相加后化简代数式；
(3) 首先由“5月份用水量超过4月份，总用水量15m³”可得4月份用水量x＜7.5m³，再根据4、5月份用水量所在的收费区间分三类讨论：①4月份用水量少于5m³时，5月份用水量超过10m³；②4月份用水量在5m³到6m³之间时，5月份用水量在9m³到10m³之间；③4月份用水量在6m³到7.5m³之间时，5月份用水量在7.5m³到9m³之间，分别按对应区间的收费标准计算两个月总费用即可。
【解析】
(1) 2月份用水$4m^3＜6m^3$，单价为2元/$m^3$，应缴水费：$4×2=8$（元）；
(2) 当$6＜a＜10$时，前$6m^3$费用为$6×2=12$元，超出$6m^3$的部分为$(a-6)m^3$，费用为$4(a-6)$元，总费用：
$12 + 4(a-6) = 4a -12$（元）；
(3) 由5月份用水量超过4月份，得$x ＜ 15 -x$，即$x ＜7.5$，分三类讨论：
① 当$x ＜5$时，$15-x ＞10$：
4月份费用为$2x$元；5月份费用：前$6m^3$费用$6×2=12$元，6~$10m^3$的$4m^3$费用$4×4=16$元，超出$10m^3$的部分为$(15-x-10)m^3$，费用为$8(15-x-10)$元，总费用为：
$2x + 12 + 16 + 8(5-x) = -6x +68$（元）；
② 当$5≤ x≤6$时，$9≤15-x≤10$：
4月份费用为$2x$元；5月份用水量在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(15-x-6)=48-4x$元，总费用为：
$2x + 48 -4x = -2x +48$（元）；
③ 当$6＜x＜7.5$时，$7.5＜15-x＜9$：
4月份用水量在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(x-6)=4x-12$元；5月份用水量也在6~$10m^3$之间，费用为$6×2 +4(15-x-6)=48-4x$元，总费用为：
$4x-12 +48 -4x =36$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{4a-12}$
(3) 当$x＜5$时，总水费为$\boxed{(-6x+68)}$元；当$5≤ x≤6$时，总水费为$\boxed{(-2x+48)}$元；当$6＜x＜7.5$时，总水费为$\boxed{36}$元。
【知识点】
分段计费问题，代数式化简，分类讨论思想
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，解题的关键是明确不同用水量对应的收费标准，结合取值范围合理分类讨论，避免出现漏算、错算费用区间的问题。
【难度系数】
0.6
