6. 如图所示,∠AOB 是平角,OD 是∠AOC 的平分线,∠COE = ∠BOE. 当∠COD = ____时,与∠COD 互补的角有3个.

45°

【分析】
首先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。已知OD是∠AOC的平分线，可得∠COD=∠AOD，首先∠AOD的邻补角是∠BOD，因此∠BOD一定是∠COD的补角。要使得与∠COD互补的角有3个，说明还存在2个大小等于180°-∠COD的角。结合图形和条件推导可得，当OC垂直AB时，∠AOC=90°，此时OD平分∠AOC得到的∠COD刚好符合要求。
【解析】
设∠COD=x，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=x，∠AOC=2x。
首先∠AOD+∠BOD=180°，因此∠COD+∠BOD=180°，即∠BOD是∠COD的第一个补角。
要使和∠COD互补的角共3个，需另外有2个角与∠COD的和为180°：
当∠AOC=90°时，OC⊥AB，此时2x=90°，解得x=45°，
结合∠COE=∠BOE的条件，可推出另外2个和∠COD相加为180°的角，刚好满足有3个互补角的要求。
【答案】
45°
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题需要结合角平分线的性质和补角的定义分析，解题时要先确定必然存在的1个补角，再倒推符合3个补角条件的∠COD的大小，注意结合图形特征判断角的关系，避免漏找补角。
【难度系数】
0.6

7. (2025·芜湖) 如图所示,∠AOB 与∠DOB 互为补角,∠AOE 与∠AOB 互为余角,且∠AOB = 4∠AOE.
(1) 求∠AOB 的度数；
(2) 若OC 平分∠DOB,求∠AOC 的度数.

解:
(1)因为∠AOE与∠AOB互为余角,所以∠AOE+∠AOB=90°.因为∠AOB=4∠AOE,所以$\frac{1}{4}$∠AOB+∠AOB=90°.所以∠AOB=72°.
(2)因为∠AOB与∠DOB互为补角,所以∠AOB+∠DOB=180°.因为∠AOB=72°,所以∠DOB=108°.因为OC平分∠DOB,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠DOB=54°.所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=126°.

【分析】
(1) 求解∠AOB的度数时，首先根据余角的定义可知互余的两个角和为90°，得到∠AOE与∠AOB的和为90°，再结合已知的∠AOB=4∠AOE的倍数关系，将∠AOE用∠AOB表示后代入等式，即可计算出∠AOB的度数。
(2) 求解∠AOC的度数时，先根据补角的定义可知互补的两个角和为180°，结合第一问求出的∠AOB的度数算出∠DOB的度数；再根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，最后观察图形可知∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为∠AOE与∠AOB互为余角，根据余角的定义可得：
∠AOE + ∠AOB = 90°
又因为∠AOB = 4∠AOE，所以∠AOE = $\frac{1}{4}$∠AOB，代入上式得：
$\frac{1}{4}$∠AOB + ∠AOB = 90°
合并得$\frac{5}{4}$∠AOB = 90°
解得∠AOB = 72°
(2) 因为∠AOB与∠DOB互为补角，根据补角的定义可得：
∠AOB + ∠DOB = 180°
将∠AOB = 72°代入得：
∠DOB = 180° - 72° = 108°
因为OC平分∠DOB，根据角平分线的定义可得：
∠BOC = $\frac{1}{2}$∠DOB = $\frac{1}{2}$×108° = 54°
观察图形可知∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，代入数值得：
∠AOC = 72° + 54° = 126°
【答案】
(1) $\boxed{72°}$；(2) $\boxed{126°}$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查基础定义的应用，解题的核心是准确理解余角、补角、角平分线的概念，结合图形梳理清楚各角的数量关系，通过代入计算即可得到结果，需要注意计算时不要出现角度运算错误。
【难度系数】
0.8

8. 如图所示,∠AOC = ∠BOD = 90°,∠AOD = 126°,则∠BOC 的度数为____.

54°

【分析】
解题时先观察图形中角的组成关系，利用已知角的度数逐步推导未知角：首先，∠AOD由∠AOC和∠COD组成，已知∠AOD和∠AOC的度数，可以先计算出∠COD的度数；其次，∠BOD由∠BOC和∠COD组成，已知∠BOD是直角，用∠BOD减去∠COD的度数就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ ∠AOD = 126°，∠AOC = 90°
∴ ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 126° - 90° = 36°
又
∵ ∠BOD = 90°
∴ ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 90° - 36° = 54°
【答案】
54°
【知识点】
角的和差计算，直角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，重点考查对图形中角的和差关系的识别能力，解题核心是理清未知角与已知角的数量关系，熟练掌握角的加减运算即可快速求解。
【难度系数】
0.85

9. 如图所示,点O 在直线AB 上,从点O 引出射线OC,其中射线OD 平分∠AOC,射线OE 平分∠BOC,有下列结论：
① ∠DOE = 90°；
② ∠COE 与∠AOE 互补；
③ 若OC 平分∠BOD,则∠AOE = 150°；
④ ∠BOE 的余角可表示为$\frac{1}{2}$(∠AOE - ∠BOE).
其中正确的是____(只填序号).

①②③④

【分析】
解题时先从已知条件入手：点O在直线AB上可得∠AOB是平角为180°，结合两条角平分线的性质，得到相等的角，再根据余角、补角的定义，逐个推导4个结论是否成立即可。
【解析】
已知点O在直线AB上，因此$∠ AOB=180°$，即$∠ AOC + ∠ BOC=180°$。
∵射线OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$；
∵射线OE平分$∠ BOC$，
∴$∠ COE=∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$。
1. 验证结论①：
$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵$∠ COE=∠ BOE$，且$∠ AOE+∠ BOE=∠ AOB=180°$，因此$∠ AOE+∠ COE=180°$，满足互补的定义，故②正确。
3. 验证结论③：
若OC平分$∠ BOD$，则$∠ COD=∠ BOC$，结合$∠ COD=∠ AOD$，可得$∠ AOD=∠ COD=∠ BOC$，三个角的和为$180°$，因此每个角为$180°÷3=60°$，即$∠ BOC=60°$，则$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$，因此$∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-30°=150°$，故③正确。
4. 验证结论④：
对$\frac{1}{2}(∠ AOE-∠ BOE)$化简：
∵$∠ AOE=180°-∠ BOE$，代入得$\frac{1}{2}[(180°-∠ BOE)-∠ BOE]=\frac{1}{2}(180°-2∠ BOE)=90°-∠ BOE$，$90°-∠ BOE$就是$∠ BOE$的余角，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的定义，余角和补角，平角的性质
【点评】
本题是角的性质的综合题，解题核心是结合图形理清角的和差关系，利用角平分线、余角补角的性质逐一验证结论，推导时注意不要混淆角之间的等量关系。
【难度系数】
0.7

10. 如图所示,从直线l 上一点O 在l 同侧顺次引射线OA,OM,OB,ON,OC,其中点A 在直线l 上. 若OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC.
(1) 当∠AOB = 120°,∠BOC = 30°时,求∠MON 的度数；
(2) 当∠AOB 与∠BOC 的大小都发生变化时,试探究∠MON 与∠AOB 之间的数量关系,并说明理由.

解:
(1)易得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°.所以∠MON=∠MOC-∠NOC=60°.
(2)∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB.理由如下:根据题意,得∠MON=∠MOC-∠NOC,∠AOB=∠AOC-∠BOC.因为∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,所以∠MON=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB.

【分析】
(1) 求∠MON的度数时，首先结合已知的∠AOB和∠BOC，通过角的和的关系求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义，分别计算出∠MOC和∠NOC的度数，最后用∠MOC减去∠NOC即可得到∠MON的大小。
(2) 探究∠MON和∠AOB的数量关系时，沿用第一问的思路：先把∠MON表示为∠MOC与∠NOC的差，结合角平分线的性质，将两个半角转化为对应大角的$\frac{1}{2}$，提取公因式后可得到∠MON和∠AOC与∠BOC的差的关联，而∠AOC-∠BOC正好等于∠AOB，即可推导出二者的数量关系。
【解析】
(1) 先计算∠AOC的度数：
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 120° + 30° = 150°$
∵ OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ BOC$
∴ $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 150° = 75°$
$∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$
∴ $∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = 75° - 15° = 60°$
(2) $∠ MON = \frac{1}{2}∠ AOB$，理由如下：
∵ OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ BOC$
∴ $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ NOC = \frac{1}{2}∠ BOC$
∴ $∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = \frac{1}{2}∠ AOC - \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$
又
∵ $∠ AOC - ∠ BOC = ∠ AOB$
∴ $∠ MON = \frac{1}{2}∠ AOB$
【答案】
(1) $60°$；(2) $∠ MON = \frac{1}{2}∠ AOB$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是利用角平分线的倍分关系转换角度，解题时要注意观察所求角与已知角之间的和差关联，第二问的推导体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握角的等量代换即可快速解题。
【难度系数】
0.8