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17. 若$\sqrt{x - 2y + 9}$与$|x - y - 3|$互为相反数，则$x + y$的值=
27
。答案
27
解析
【解析】
因为$\sqrt{x - 2y + 9}$与$|x - y - 3|$互为相反数，所以$\sqrt{x - 2y + 9} + |x - y - 3| = 0$。
又因为$\sqrt{x - 2y + 9} ≥ 0$，$|x - y - 3| ≥ 0$，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - 2y + 9 = 0 \\x - y - 3 = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(x - y - 3) - (x - 2y + 9) = 0$
化简得$y - 12 = 0$，解得$y = 12$。
将$y = 12$代入$x - y - 3 = 0$，得$x - 12 - 3 = 0$，解得$x = 15$。
则$x + y = 15 + 12 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组求解
【点评】
本题结合相反数定义、非负数性质与二元一次方程组解法，考查综合运算能力，解题关键是利用非负数性质列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
因为$\sqrt{x - 2y + 9}$与$|x - y - 3|$互为相反数，所以$\sqrt{x - 2y + 9} + |x - y - 3| = 0$。
又因为$\sqrt{x - 2y + 9} ≥ 0$，$|x - y - 3| ≥ 0$，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - 2y + 9 = 0 \\x - y - 3 = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(x - y - 3) - (x - 2y + 9) = 0$
化简得$y - 12 = 0$，解得$y = 12$。
将$y = 12$代入$x - y - 3 = 0$，得$x - 12 - 3 = 0$，解得$x = 15$。
则$x + y = 15 + 12 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组求解
【点评】
本题结合相反数定义、非负数性质与二元一次方程组解法，考查综合运算能力，解题关键是利用非负数性质列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
18. 如图是正方形的点子图，要在图中选一个点$D$，使四边形$ABCD$成为一个梯形，则点$D$共有
4
种选法。答案
18. 4
解析
【解析】
根据梯形“一组对边平行，另一组对边不平行”的定义，分两类寻找点D：
1. 使AB//CD，在点子图中可找到2个符合条件的点D；
2. 使AD//BC，在点子图中可找到2个符合条件的点D。
因此，符合条件的点D共有2+2=4种选法。
【答案】
4
【知识点】
梯形的定义
【点评】
本题需结合梯形的定义，通过分类讨论确定点D的位置，解题时要注意全面考虑，避免漏数。
【难度系数】
0.6
根据梯形“一组对边平行，另一组对边不平行”的定义，分两类寻找点D：
1. 使AB//CD，在点子图中可找到2个符合条件的点D；
2. 使AD//BC，在点子图中可找到2个符合条件的点D。
因此，符合条件的点D共有2+2=4种选法。
【答案】
4
【知识点】
梯形的定义
【点评】
本题需结合梯形的定义，通过分类讨论确定点D的位置，解题时要注意全面考虑，避免漏数。
【难度系数】
0.6
三、解答题（共 96 分）
19. （8 分）计算：
（1）$\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}$；
（2）$\sqrt{5}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})-(2+\sqrt{5})×(\sqrt{5}-2)$。
19. （8 分）计算：
（1）$\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}$；
（2）$\sqrt{5}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})-(2+\sqrt{5})×(\sqrt{5}-2)$。
答案
19. (1) $ \frac{7\sqrt{2}}{4} $ (2) $ 4 + \sqrt{10} $
解析
【解析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}$
$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{12\sqrt{2}}{4}-\frac{6\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{7\sqrt{2}}{4}$
（2）先利用乘法分配律和平方差公式计算，再合并化简：
$\sqrt{5}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})-(2+\sqrt{5})×(\sqrt{5}-2)$
$=\sqrt{10}+5-[(\sqrt{5})^2-2^2]$
$=\sqrt{10}+5-(5-4)$
$=\sqrt{10}+5-1$
$=4+\sqrt{10}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{7\sqrt{2}}{4}}$；（2）$\boldsymbol{4+\sqrt{10}}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简法则和乘法公式，准确合并同类二次根式。
【难度系数】
0.6
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
$\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}$
$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{12\sqrt{2}}{4}-\frac{6\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{7\sqrt{2}}{4}$
（2）先利用乘法分配律和平方差公式计算，再合并化简：
$\sqrt{5}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})-(2+\sqrt{5})×(\sqrt{5}-2)$
$=\sqrt{10}+5-[(\sqrt{5})^2-2^2]$
$=\sqrt{10}+5-(5-4)$
$=\sqrt{10}+5-1$
$=4+\sqrt{10}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{7\sqrt{2}}{4}}$；（2）$\boldsymbol{4+\sqrt{10}}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简法则和乘法公式，准确合并同类二次根式。
【难度系数】
0.6
20. （10 分）解分式方程：
（1）$\frac{11 - 2x}{4 - x}=\frac{1 - x}{x - 4}$；
（2）$\frac{3}{x}-\frac{6}{1 - x}=\frac{x + 5}{x(1 - x)}$。
（1）$\frac{11 - 2x}{4 - x}=\frac{1 - x}{x - 4}$；
（2）$\frac{3}{x}-\frac{6}{1 - x}=\frac{x + 5}{x(1 - x)}$。
答案
（1）x = 4（增根），原方程无解$ （2）x=-\frac{1}{5}$
解析
【解析】
（1）原方程可变形为：$\frac{2x - 11}{x - 4}=\frac{1 - x}{x - 4}$
两边同乘最简公分母$x - 4$（$x≠4$），得：
$2x - 11 = 1 - x$
移项合并同类项：$3x = 12$
解得：$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$，$x=4$是增根，故原方程无解。
（2）方程两边同乘最简公分母$x(1 - x)$（$x≠0$且$x≠1$），得：
$3(1 - x) - 6x = x + 5$
去括号：$3 - 3x - 6x = x + 5$
移项合并同类项：$-10x = 2$
解得：$x = -\frac{1}{5}$
检验：当$x = -\frac{1}{5}$时，$x(1 - x) = -\frac{1}{5}×(1 + \frac{1}{5}) = -\frac{6}{25}≠0$，故$x = -\frac{1}{5}$是原方程的解。
【答案】
（1）原方程无解；（2）$x=-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的判断
【点评】
本题考查分式方程的求解，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验根是否使原分母为0，避免忽略增根导致错误。
【难度系数】
0.6
（1）原方程可变形为：$\frac{2x - 11}{x - 4}=\frac{1 - x}{x - 4}$
两边同乘最简公分母$x - 4$（$x≠4$），得：
$2x - 11 = 1 - x$
移项合并同类项：$3x = 12$
解得：$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$，$x=4$是增根，故原方程无解。
（2）方程两边同乘最简公分母$x(1 - x)$（$x≠0$且$x≠1$），得：
$3(1 - x) - 6x = x + 5$
去括号：$3 - 3x - 6x = x + 5$
移项合并同类项：$-10x = 2$
解得：$x = -\frac{1}{5}$
检验：当$x = -\frac{1}{5}$时，$x(1 - x) = -\frac{1}{5}×(1 + \frac{1}{5}) = -\frac{6}{25}≠0$，故$x = -\frac{1}{5}$是原方程的解。
【答案】
（1）原方程无解；（2）$x=-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的判断
【点评】
本题考查分式方程的求解，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验根是否使原分母为0，避免忽略增根导致错误。
【难度系数】
0.6
21. （8 分）先化简，再求值：$(1-\frac{1}{a + 1})÷\frac{a}{a^{2}+2a + 1}$，其中$a=\sqrt{3}-1$。
答案
化简，得a + 1. 把$a=\sqrt{3}-1$代入，得$\sqrt{3}$
解析
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：$1-\frac{1}{a+1}=\frac{(a+1)-1}{a+1}=\frac{a}{a+1}$；
对$a^2+2a+1$利用完全平方公式因式分解，得$(a+1)^2$；
将除法转化为乘法：$\frac{a}{a+1} ÷ \frac{a}{(a+1)^2}=\frac{a}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{a}$；
约分后得到$a+1$；
2. 代入求值：
把$a=\sqrt{3}-1$代入$a+1$，得$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{a+1}$，求值结果为$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，需熟练掌握分式的通分、约分运算，以及完全平方公式的应用，代入求值时注意二次根式的简单计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 化简原式：
先计算括号内的部分：$1-\frac{1}{a+1}=\frac{(a+1)-1}{a+1}=\frac{a}{a+1}$；
对$a^2+2a+1$利用完全平方公式因式分解，得$(a+1)^2$；
将除法转化为乘法：$\frac{a}{a+1} ÷ \frac{a}{(a+1)^2}=\frac{a}{a+1} × \frac{(a+1)^2}{a}$；
约分后得到$a+1$；
2. 代入求值：
把$a=\sqrt{3}-1$代入$a+1$，得$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{a+1}$，求值结果为$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
分式的化简求值、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，需熟练掌握分式的通分、约分运算，以及完全平方公式的应用，代入求值时注意二次根式的简单计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
22. （8 分）某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，分别为演讲、唱歌、书法、绘画，要求每位同学必须参加，且限报一项活动。以八年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图。请你结合图中所给出的信息，解答下列问题：
（1）求参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比；
（2）求扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校八年级学生有 600 人，请你估计这次艺术活动中参加演讲和唱歌的学生各有多少人。
（1）求参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比；
（2）求扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校八年级学生有 600 人，请你估计这次艺术活动中参加演讲和唱歌的学生各有多少人。
答案
$（1）12% （2）72^{\circ} （3）$演讲168人 唱歌240人
解析
【解析】
1. 计算全班总人数：由唱歌的人数20人及对应占比40%，可得总人数为$20÷40\% = 50$人。
（1）参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比为：$\frac{6}{50}×100\% = 12\%$；
（2）参加书法比赛的学生占比为$\frac{10}{50}×100\% = 20\%$，则其所在扇形圆心角的度数为$360^{\circ}×20\% = 72^{\circ}$；
（3）估计参加演讲的学生人数：$600×28\% = 168$人；
估计参加唱歌的学生人数：$600×40\% = 240$人。
【答案】
（1）12%；（2）$72^{\circ}$；（3）演讲168人，唱歌240人
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查条形统计图与扇形统计图的运用，需结合两种统计图的信息提取数据，掌握用样本估计总体的方法，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.7
1. 计算全班总人数：由唱歌的人数20人及对应占比40%，可得总人数为$20÷40\% = 50$人。
（1）参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比为：$\frac{6}{50}×100\% = 12\%$；
（2）参加书法比赛的学生占比为$\frac{10}{50}×100\% = 20\%$，则其所在扇形圆心角的度数为$360^{\circ}×20\% = 72^{\circ}$；
（3）估计参加演讲的学生人数：$600×28\% = 168$人；
估计参加唱歌的学生人数：$600×40\% = 240$人。
【答案】
（1）12%；（2）$72^{\circ}$；（3）演讲168人，唱歌240人
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查条形统计图与扇形统计图的运用，需结合两种统计图的信息提取数据，掌握用样本估计总体的方法，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.7
