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8. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式。例如：由图①可得等式$x^{2}+(p + q)x + pq=(x + p)(x + q)$。用若干张图②所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$分解因式为(
A. $(a + b)(2a + b)$
B. $(a + 2b)(3a + b)$
C. $(a + b)(a + 2b)$
D. $(a + b)(a + 3b)$
C
)A. $(a + b)(2a + b)$
B. $(a + 2b)(3a + b)$
C. $(a + b)(a + 2b)$
D. $(a + b)(a + 3b)$
答案
8. C
解析
【解析】
1. 代数方法：利用十字相乘法分解二次三项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$：
将二次项系数1拆分为$1×1$，常数项$2b^{2}$拆分为$b×2b$，交叉相乘后相加得$1×2b + 1×b=3b$，与一次项系数一致，因此$a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + b)(a + 2b)$。
2. 几何拼图法：$a^{2}$对应1张边长为$a$的正方形，$3ab$对应3张长$a$宽$b$的长方形，$2b^{2}$对应2张边长为$b$的正方形，可拼成长为$a+2b$、宽为$a+b$的大长方形，其面积为$(a + b)(a + 2b)$，故$a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + b)(a + 2b)$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解、数形结合思想、多项式乘法逆运算
【点评】
本题将代数因式分解与几何拼图面积计算结合，通过数形结合的方式，直观展现二次三项式的因式分解过程，加深对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.8
1. 代数方法：利用十字相乘法分解二次三项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$：
将二次项系数1拆分为$1×1$，常数项$2b^{2}$拆分为$b×2b$，交叉相乘后相加得$1×2b + 1×b=3b$，与一次项系数一致，因此$a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + b)(a + 2b)$。
2. 几何拼图法：$a^{2}$对应1张边长为$a$的正方形，$3ab$对应3张长$a$宽$b$的长方形，$2b^{2}$对应2张边长为$b$的正方形，可拼成长为$a+2b$、宽为$a+b$的大长方形，其面积为$(a + b)(a + 2b)$，故$a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + b)(a + 2b)$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解、数形结合思想、多项式乘法逆运算
【点评】
本题将代数因式分解与几何拼图面积计算结合，通过数形结合的方式，直观展现二次三项式的因式分解过程，加深对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.8
9. 某校为了迎接新年，在校园里挂满了彩旗和灯笼。已知彩旗的单价比灯笼的单价贵 10 元，且 160 元购买的彩旗数量比 120 元购买的灯笼数量少 10 个，设灯笼的单价为$x$元，则下列方程正确的是(
A. $\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}-10$
B. $\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}+10$
C. $\frac{160}{x - 10}=\frac{120}{x}-10$
D. $\frac{160}{x - 10}=\frac{120}{x}+10$
A
)A. $\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}-10$
B. $\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}+10$
C. $\frac{160}{x - 10}=\frac{120}{x}-10$
D. $\frac{160}{x - 10}=\frac{120}{x}+10$
答案
9. A
解析
【解析】
设灯笼的单价为$x$元，则彩旗的单价为$(x+10)$元。
根据题意，160元购买的彩旗数量为$\frac{160}{x+10}$，120元购买的灯笼数量为$\frac{120}{x}$，又因为彩旗数量比灯笼数量少10个，因此可列方程：$\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}-10$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；单价、数量、总价关系
【点评】
本题考查分式方程在实际问题中的应用，关键是根据题目中的数量关系找准等量关系，正确表示两种物品的购买数量，准确转化“少10个”这一条件。
【难度系数】
0.7
设灯笼的单价为$x$元，则彩旗的单价为$(x+10)$元。
根据题意，160元购买的彩旗数量为$\frac{160}{x+10}$，120元购买的灯笼数量为$\frac{120}{x}$，又因为彩旗数量比灯笼数量少10个，因此可列方程：$\frac{160}{x + 10}=\frac{120}{x}-10$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；单价、数量、总价关系
【点评】
本题考查分式方程在实际问题中的应用，关键是根据题目中的数量关系找准等量关系，正确表示两种物品的购买数量，准确转化“少10个”这一条件。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是边$AD$的中点，$BD$，$CE$交于点$H$，$BE$，$AH$交于点$G$，有下列结论：①$∠ ABE=∠ DCE$，②$AG⊥ BE$，③$△ BHE$与$△ CHD$的面积相等，④$∠ AHB=∠ EHD$。其中正确的是(
A. ①③
B. ①②③④
C. ①②③
D. ①③④
B
)A. ①③
B. ①②③④
C. ①②③
D. ①③④
答案
B
解析
【解析】
1. 验证结论①：
在正方形$ABCD$中，$AB=DC$，$∠ BAE=∠ CDE=90°$，
∵$E$是$AD$的中点，
∴$AE=DE$，
∴$△ ABE≌△ DCE$（SAS），故$∠ ABE=∠ DCE$，①正确。
2. 验证结论②：
在正方形$ABCD$中，$AB=CB$，$∠ ABH=∠ CBH=45°$，且$BH=BH$，
∴$△ ABH≌△ CBH$（SAS），则$∠ BAH=∠ BCH$。
由①知$∠ ABE=∠ DCE$，又$∠ DCE+∠ BCH=90°$，
∴$∠ ABE+∠ BAH=90°$，在$△ ABG$中，$∠ AGB=180°-(∠ ABE+∠ BAH)=90°$，
故$AG⊥ BE$，②正确。
3. 验证结论③：
∵$E$是$AD$中点，$AD// BC$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$，
两个三角形同时减去$△ EHD$的面积，可得$S_{△ BHE}=S_{△ CHD}$，③正确。
4. 验证结论④：
由$△ ABH≌△ CBH$得$∠ AHB=∠ CHB$，
又$∠ CHB$与$∠ EHD$是对顶角，故$∠ CHB=∠ EHD$，
∴$∠ AHB=∠ EHD$，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定与性质，需要逐一分析每个结论，对几何图形性质的掌握要求较高，综合性较强。
【难度系数】
0.3
1. 验证结论①：
在正方形$ABCD$中，$AB=DC$，$∠ BAE=∠ CDE=90°$，
∵$E$是$AD$的中点，
∴$AE=DE$，
∴$△ ABE≌△ DCE$（SAS），故$∠ ABE=∠ DCE$，①正确。
2. 验证结论②：
在正方形$ABCD$中，$AB=CB$，$∠ ABH=∠ CBH=45°$，且$BH=BH$，
∴$△ ABH≌△ CBH$（SAS），则$∠ BAH=∠ BCH$。
由①知$∠ ABE=∠ DCE$，又$∠ DCE+∠ BCH=90°$，
∴$∠ ABE+∠ BAH=90°$，在$△ ABG$中，$∠ AGB=180°-(∠ ABE+∠ BAH)=90°$，
故$AG⊥ BE$，②正确。
3. 验证结论③：
∵$E$是$AD$中点，$AD// BC$，
∴$S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$，
两个三角形同时减去$△ EHD$的面积，可得$S_{△ BHE}=S_{△ CHD}$，③正确。
4. 验证结论④：
由$△ ABH≌△ CBH$得$∠ AHB=∠ CHB$，
又$∠ CHB$与$∠ EHD$是对顶角，故$∠ CHB=∠ EHD$，
∴$∠ AHB=∠ EHD$，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定与性质，需要逐一分析每个结论，对几何图形性质的掌握要求较高，综合性较强。
【难度系数】
0.3
11. 在函数$y=\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$中，自变量$x$的取值范围是
$ x ＞ 2 $
。答案
x＞2
解析
【解析】
要使函数$y=\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x - 2 ≥ 0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{x - 2} ≠ 0$。
综合两个条件可得$x - 2 ＞ 0$，解得$x ＞ 2$。
【答案】
$x＞2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的条件，需同时满足两个条件确定自变量取值范围，注意避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.9
要使函数$y=\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x - 2 ≥ 0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{x - 2} ≠ 0$。
综合两个条件可得$x - 2 ＞ 0$，解得$x ＞ 2$。
【答案】
$x＞2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的条件，需同时满足两个条件确定自变量取值范围，注意避免遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.9
12. 因式分解：$4a^{2}-b^{2}=$
$ (2a + b)(2a - b) $
。答案
12. $ (2a + b)(2a - b) $
解析
【解析】
本题可利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
观察原式$4a^2 - b^2$，其中$4a^2=(2a)^2$，将其代入平方差公式可得：
$4a^2 - b^2=(2a)^2 - b^2=(2a + b)(2a - b)$
【答案】
$(2a + b)(2a - b)$
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.9
本题可利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
观察原式$4a^2 - b^2$，其中$4a^2=(2a)^2$，将其代入平方差公式可得：
$4a^2 - b^2=(2a)^2 - b^2=(2a + b)(2a - b)$
【答案】
$(2a + b)(2a - b)$
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，熟练掌握平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.9
13. 质地均匀的骰子的 6 个面上分别标有 1～6 的点数，抛掷这枚骰子，有下列事件：①向上一面的点数大于 0；②向上一面的点数是 7；③向上一面的点数是 3 的倍数；④向上一面的点数是偶数。把这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列：
②③④①
。答案
②③④①
解析
【解析】
首先计算各事件发生的概率：
①向上一面的点数大于0：所有6种结果都满足，概率$ P_①=\frac{6}{6}=1 $；
②向上一面的点数是7：无符合的结果，概率$ P_②=\frac{0}{6}=0 $；
③向上一面的点数是3的倍数：符合的点数为3、6，共2种，概率$ P_③=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $；
④向上一面的点数是偶数：符合的点数为2、4、6，共3种，概率$ P_④=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $。
比较概率大小：$ 0 ＜ \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 $，故事件序号按概率从小到大排列为②③④①。
【答案】
②③④①
【知识点】
概率的计算、事件概率大小比较
【点评】
本题考查简单随机事件的概率计算与排序，需明确必然事件、不可能事件及随机事件的概率特征，掌握通过列举法计算随机事件概率的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先计算各事件发生的概率：
①向上一面的点数大于0：所有6种结果都满足，概率$ P_①=\frac{6}{6}=1 $；
②向上一面的点数是7：无符合的结果，概率$ P_②=\frac{0}{6}=0 $；
③向上一面的点数是3的倍数：符合的点数为3、6，共2种，概率$ P_③=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $；
④向上一面的点数是偶数：符合的点数为2、4、6，共3种，概率$ P_④=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $。
比较概率大小：$ 0 ＜ \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 $，故事件序号按概率从小到大排列为②③④①。
【答案】
②③④①
【知识点】
概率的计算、事件概率大小比较
【点评】
本题考查简单随机事件的概率计算与排序，需明确必然事件、不可能事件及随机事件的概率特征，掌握通过列举法计算随机事件概率的方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为 8，则原三角形的周长为
16
。答案
16
解析
【解析】
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。以原三角形各边中点为顶点的三角形的三边分别是原三角形三边的中位线，因此新三角形的周长是原三角形周长的一半。已知新三角形周长为8，所以原三角形的周长为8×2=16。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理的应用，理解中位线与原三角形边的长度关系是解题关键，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。以原三角形各边中点为顶点的三角形的三边分别是原三角形三边的中位线，因此新三角形的周长是原三角形周长的一半。已知新三角形周长为8，所以原三角形的周长为8×2=16。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理的应用，理解中位线与原三角形边的长度关系是解题关键，题目基础，易于掌握。
【难度系数】
0.8
15. 菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8，这个菱形的周长为
20
。答案
20
解析
【解析】
菱形的对角线互相垂直且平分，已知两条对角线长分别为6和8，则对角线的一半分别为3和4。
根据勾股定理，菱形的边长为：$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
菱形的周长为边长的4倍，即$4×5 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查菱形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长，进而计算周长。
【难度系数】
0.8
菱形的对角线互相垂直且平分，已知两条对角线长分别为6和8，则对角线的一半分别为3和4。
根据勾股定理，菱形的边长为：$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
菱形的周长为边长的4倍，即$4×5 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查菱形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长，进而计算周长。
【难度系数】
0.8
16. 如图，正方形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，点$M$在边$AD$上，连接$OM$，过点$O$作$ON⊥ OM$，交$CD$于点$N$。若四边形$MON D$的面积是 1，则$AB$的长为
2
。答案
2
解析
【解析】
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$OD=OC$，$∠ ODM=∠ OCN=45°$，$∠ DOC=90°$，
∵$ON⊥ OM$，
∴$∠ MON=90°$，
∴$∠ MOD+∠ DON=∠ NOC+∠ DON=90°$，
∴$∠ MOD=∠ NOC$，
在$△ MOD$和$△ NOC$中，
$\begin{cases}∠ ODM=∠ OCN \\OD=OC \\∠ MOD=∠ NOC\end{cases}$
∴$△ MOD≌△ NOC$（ASA），
∴$S_{△ MOD}=S_{△ NOC}$，
∴$S_{四边形MOND}=S_{△ DOC}=1$，
∵正方形$ABCD$的面积是$4S_{△ DOC}=4×1=4$，
∴$AB=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过证明三角形全等，将四边形的面积转化为三角形的面积，进而求出正方形的面积，最终得到边长，考查了对正方形性质和全等三角形的综合运用。
【难度系数】
0.6
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$OD=OC$，$∠ ODM=∠ OCN=45°$，$∠ DOC=90°$，
∵$ON⊥ OM$，
∴$∠ MON=90°$，
∴$∠ MOD+∠ DON=∠ NOC+∠ DON=90°$，
∴$∠ MOD=∠ NOC$，
在$△ MOD$和$△ NOC$中，
$\begin{cases}∠ ODM=∠ OCN \\OD=OC \\∠ MOD=∠ NOC\end{cases}$
∴$△ MOD≌△ NOC$（ASA），
∴$S_{△ MOD}=S_{△ NOC}$，
∴$S_{四边形MOND}=S_{△ DOC}=1$，
∵正方形$ABCD$的面积是$4S_{△ DOC}=4×1=4$，
∴$AB=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过证明三角形全等，将四边形的面积转化为三角形的面积，进而求出正方形的面积，最终得到边长，考查了对正方形性质和全等三角形的综合运用。
【难度系数】
0.6
