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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$\sqrt{15}$
D
)A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$\sqrt{15}$
答案
1. D
解析
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，分母含根号，不符合最简二次根式要求；
选项D：$\sqrt{15}$的被开方数15不含分母，且15不能分解出开得尽方的因数，是最简二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查最简二次根式的判定，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，准确对各选项进行化简判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，分母含根号，不符合最简二次根式要求；
选项D：$\sqrt{15}$的被开方数15不含分母，且15不能分解出开得尽方的因数，是最简二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题主要考查最简二次根式的判定，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，准确对各选项进行化简判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 化去下列各式根号内的分母：
(1)$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；(2)$\sqrt{1\dfrac{1}{7}}$；(3)$\sqrt{\dfrac{3x}{4y}}(x≥ 0,y≥ 0)$.
(1)$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；(2)$\sqrt{1\dfrac{1}{7}}$；(3)$\sqrt{\dfrac{3x}{4y}}(x≥ 0,y≥ 0)$.
答案
$(1)\frac{\sqrt{10}}{5} (2)\frac{2\sqrt{14}}{7} (3)\sqrt{3} (4)\frac{\sqrt{2ab}}{2a}$
解析
1
3. 化简下列各式，使分母有理化：
(1)$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$；(2)$\dfrac{2}{\sqrt{18x}}(x＞0)$；(3)$\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{6x}}(x＞0,y≥ 0)$.
(1)$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$；(2)$\dfrac{2}{\sqrt{18x}}(x＞0)$；(3)$\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{6x}}(x＞0,y≥ 0)$.
答案
3. (1) $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ (2) $\dfrac{\sqrt{2x}}{3x}$ (3) $\dfrac{\sqrt{2xy}}{2x}$
解析
【解析】
(1) 对$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；
(2) 先化简分母$\sqrt{18x}=3\sqrt{2x}$，再对$\dfrac{2}{3\sqrt{2x}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2x}$：
$\dfrac{2}{\sqrt{18x}}=\dfrac{2}{3\sqrt{2x}}=\dfrac{2×\sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}×\sqrt{2x}}=\dfrac{2\sqrt{2x}}{6x}=\dfrac{\sqrt{2x}}{3x}$；
(3) 分子分母同乘$\sqrt{6x}$进行分母有理化，再化简：
$\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{6x}}=\dfrac{\sqrt{3y}×\sqrt{6x}}{\sqrt{6x}×\sqrt{6x}}=\dfrac{\sqrt{18xy}}{6x}=\dfrac{3\sqrt{2xy}}{6x}=\dfrac{\sqrt{2xy}}{2x}$；
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2x}}{3x}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2xy}}{2x}$
【知识点】
分母有理化，二次根式的乘除
【点评】
本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是掌握分母有理化的方法：分子分母同乘分母的有理化因式，同时结合二次根式的性质化简，需关注字母取值范围保证二次根式有意义。
【难度系数】
0.7
(1) 对$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；
(2) 先化简分母$\sqrt{18x}=3\sqrt{2x}$，再对$\dfrac{2}{3\sqrt{2x}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2x}$：
$\dfrac{2}{\sqrt{18x}}=\dfrac{2}{3\sqrt{2x}}=\dfrac{2×\sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}×\sqrt{2x}}=\dfrac{2\sqrt{2x}}{6x}=\dfrac{\sqrt{2x}}{3x}$；
(3) 分子分母同乘$\sqrt{6x}$进行分母有理化，再化简：
$\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{6x}}=\dfrac{\sqrt{3y}×\sqrt{6x}}{\sqrt{6x}×\sqrt{6x}}=\dfrac{\sqrt{18xy}}{6x}=\dfrac{3\sqrt{2xy}}{6x}=\dfrac{\sqrt{2xy}}{2x}$；
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{14}}{2}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2x}}{3x}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2xy}}{2x}$
【知识点】
分母有理化，二次根式的乘除
【点评】
本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是掌握分母有理化的方法：分子分母同乘分母的有理化因式，同时结合二次根式的性质化简，需关注字母取值范围保证二次根式有意义。
【难度系数】
0.7
1. 已知$a = 2+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}-2$，则$a$与$b$的关系是(
A.$a = b$
B.$a=-b$
C.$a=\dfrac{1}{b}$
D.$ab=-1$
D
)A.$a = b$
B.$a=-b$
C.$a=\dfrac{1}{b}$
D.$ab=-1$
答案
D
解析
【解析】
分别计算各选项：
选项A：$a=2+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}-2$，显然$a≠b$，A错误；
选项B：$-b=-(√3-2)=2-√3$，与$a=2+\sqrt{3}$不相等，B错误；
选项C：对$\frac{1}{b}$分母有理化，$\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{2+\sqrt{3}}{3-4}=-(2+\sqrt{3})=-a≠a$，C错误；
选项D：计算$ab=(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的运算及代数式间的关系判断，需熟练运用平方差公式进行乘法运算和分母有理化，题目难度基础，注重对基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
分别计算各选项：
选项A：$a=2+\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}-2$，显然$a≠b$，A错误；
选项B：$-b=-(√3-2)=2-√3$，与$a=2+\sqrt{3}$不相等，B错误；
选项C：对$\frac{1}{b}$分母有理化，$\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{2+\sqrt{3}}{3-4}=-(2+\sqrt{3})=-a≠a$，C错误；
选项D：计算$ab=(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4=-1$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的运算及代数式间的关系判断，需熟练运用平方差公式进行乘法运算和分母有理化，题目难度基础，注重对基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 化去下列各式根号内的分母：
(1)$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$；(2)$9\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2y}}{\sqrt{18x^{3}}}(x＞0,y≥ 0)$.
(1)$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$；(2)$9\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2y}}{\sqrt{18x^{3}}}(x＞0,y≥ 0)$.
答案
$(1)\frac{2\sqrt{3}}{3} (2)3\sqrt{6} (3)\frac{\sqrt{xy}}{3x^{2}} (4)-\sqrt{1 - a}$
解析
【解析】
(1)先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化去分母：
$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2)先化去根号内的分母，再进行约分计算：
$9\sqrt{\dfrac{2}{3}}=9×\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=9×\dfrac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}$；
(3)先合并二次根式，再约分、分母有理化，结合$x＞0,y≥0$的条件化简：
$\dfrac{\sqrt{2y}}{\sqrt{18x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{2y}{18x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{y}{9x^{3}}}=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{9x^{3}}}=\dfrac{\sqrt{y}}{3x\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{y}·\sqrt{x}}{3x\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{3x^{2}}$。
【答案】
(1)$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；(2)$3\sqrt{6}$；(3)$\dfrac{\sqrt{xy}}{3x^{2}}$
【知识点】
二次根式的化简、分母有理化
【点评】
本题考查二次根式化去根号内分母的方法，需熟练运用二次根式的性质，注意结合字母的取值范围确保化简结果的合理性，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
(1)先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化去分母：
$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2)先化去根号内的分母，再进行约分计算：
$9\sqrt{\dfrac{2}{3}}=9×\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=9×\dfrac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}$；
(3)先合并二次根式，再约分、分母有理化，结合$x＞0,y≥0$的条件化简：
$\dfrac{\sqrt{2y}}{\sqrt{18x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{2y}{18x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{y}{9x^{3}}}=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{9x^{3}}}=\dfrac{\sqrt{y}}{3x\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{y}·\sqrt{x}}{3x\sqrt{x}·\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{xy}}{3x^{2}}$。
【答案】
(1)$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；(2)$3\sqrt{6}$；(3)$\dfrac{\sqrt{xy}}{3x^{2}}$
【知识点】
二次根式的化简、分母有理化
【点评】
本题考查二次根式化去根号内分母的方法，需熟练运用二次根式的性质，注意结合字母的取值范围确保化简结果的合理性，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
