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3. 化简下列各式，使分母有理化：
(1)$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$；(2)$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$；(3)$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}(x＞0,y＞0)$.
(1)$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$；(2)$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$；(3)$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}(x＞0,y＞0)$.
答案
$(1)\frac{\sqrt{33}}{3} (2)\frac{\sqrt{21}}{3} (3)\frac{3\sqrt{y}}{xy}$
解析
【解析】
(1) 对$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{11}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{33}}{3}$；
(2) 对$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$，再化简：
$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{84}}{6}=\dfrac{2\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$；
(3) 因为$x＞0,y＞0$，对$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{y}$：
$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}=\dfrac{3×\sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}y}×\sqrt{y}}=\dfrac{3\sqrt{y}}{x\sqrt{y}×\sqrt{y}}=\dfrac{3\sqrt{y}}{xy}$。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{33}}{3}$；(2)$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$；(3)$\dfrac{3\sqrt{y}}{xy}$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的分母有理化，核心是通过分子分母同乘分母的有理化因式，结合二次根式的乘法法则与性质进行化简，需注意题目中给出的字母取值范围对化简结果的影响，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 对$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{11}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{33}}{3}$；
(2) 对$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}$，再化简：
$\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{84}}{6}=\dfrac{2\sqrt{21}}{6}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$；
(3) 因为$x＞0,y＞0$，对$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{y}$：
$\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}y}}=\dfrac{3×\sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}y}×\sqrt{y}}=\dfrac{3\sqrt{y}}{x\sqrt{y}×\sqrt{y}}=\dfrac{3\sqrt{y}}{xy}$。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{33}}{3}$；(2)$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$；(3)$\dfrac{3\sqrt{y}}{xy}$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的分母有理化，核心是通过分子分母同乘分母的有理化因式，结合二次根式的乘法法则与性质进行化简，需注意题目中给出的字母取值范围对化简结果的影响，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 阅读并观察下列各式及其验证过程.
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
验证：$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)× (\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}=\sqrt{2}-1$；
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})× (\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(1) 按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=$
(2) 通过上述探究，猜想：$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\_\_\_\_\_\_(n＞0$，且$n$为整数$)$；
(3) 计算：$(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+··· +\dfrac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2024}}+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}})× (1+\sqrt{2025})$.
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
验证：$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)× (\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}=\sqrt{2}-1$；
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})× (\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(1) 按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=$
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
；(2) 通过上述探究，猜想：$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\_\_\_\_\_\_(n＞0$，且$n$为整数$)$；
(3) 计算：$(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+··· +\dfrac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2024}}+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}})× (1+\sqrt{2025})$.
答案
4. (1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (2) $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$ (3) 2024
解析
【解析】
(1) 对$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$：
$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$；
(2) 同理，对$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$（$n＞0$且$n$为整数）分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
(3) 利用(2)的结论化简原式：
原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots+\sqrt{2024}-\sqrt{2023}+\sqrt{2025}-\sqrt{2024})×(1+\sqrt{2025})$
$=(\sqrt{2025}-1)(1+\sqrt{2025})$
$=(\sqrt{2025})^2 -1^2$
$=2025-1=2024$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$；(3) 2024
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题通过观察特例归纳出分母有理化的规律，再利用裂项相消法和平方差公式简化计算，考查了归纳推理能力与二次根式的运算能力，体现了由特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 对$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$：
$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$；
(2) 同理，对$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$（$n＞0$且$n$为整数）分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
(3) 利用(2)的结论化简原式：
原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots+\sqrt{2024}-\sqrt{2023}+\sqrt{2025}-\sqrt{2024})×(1+\sqrt{2025})$
$=(\sqrt{2025}-1)(1+\sqrt{2025})$
$=(\sqrt{2025})^2 -1^2$
$=2025-1=2024$。
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$；(3) 2024
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；平方差公式
【点评】
本题通过观察特例归纳出分母有理化的规律，再利用裂项相消法和平方差公式简化计算，考查了归纳推理能力与二次根式的运算能力，体现了由特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
