2. 【问题背景】如图3-5 $ \textcircled{1} $ ，A，B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A地到 B地的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
【数学建模】将这个实际问题抽象出来，即如图3-5 $ \textcircled{2} $ ，直线 a//b，点 A，B分别位于直线 a，b的两侧，请你在直线 a上找到点 M，使得 MN垂直于直线 b，垂足为 N，且 AM+MN+NB的值最小。在图3-5 $ \textcircled{2} $中画出点 M，N（不要求证明）。
【问题拓展】如图3-5 $ \textcircled{3} $ ，在上面的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从 A地到达 B地的路径最短呢？在图3-5 $ \textcircled{3} $中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的。（不要求证明）

2. 解：【数学建模】如答图3-2①，点M，N为所求。

【问题拓展】如答图3-2②，路径AFENMB为所求。
方法：作$AJ⊥$直线$a$，且$AJ$为直线$a$，$b$间的距离，作$BK⊥$直线$d$，且$BK$为直线$c$，$d$间的距离，连接$JK$交直线$b$于点$E$，交直线$c$于点$N$，作$EF⊥$直线$b$交直线$a$于点$F$，作$NM⊥$直线$c$交直线$d$于点$M$，路径AFENMB为所求。

3. 光明区某湿地公园如图3-6所示，四边形AEDC为花海景区， $ ∠ C D E=∠ E=9 0° $ $ A E=8 0 \mathrm{~ m}, D E=5 0 \mathrm{~ m} $ ，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线AM-MN-BN），A为起点，终点B在ED上，BD=30m， MN为湖边观景台，长度固定不变（MN=40m），且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请写出步行观光路线的最短长度。

3. 解：如答图3-3，过$B$作$BB'// FC$，并使$BB'=NM$，作$B'$关于直线$FC$的对称点$B''$，延长$B''B'$交$AE$于点$I$，连接$AB''$交直线$FC$于点$M$，此时使得$AM+BN$最小。
易得$BN=B'M$。
$\because B'$关于直线$FC$的对称点为$B''$，$BD=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore B'M=B''M$，$AI=80-40=40\ (\mathrm{m})$，$B''I=30+50=80(\mathrm{m})$，
$\therefore AM+BN=AM+B'M=AM+B''M=AB''$，
在$\mathrm{Rt}△ AB''I$中，由勾股定理，得
$AB''=\sqrt{AI^{2}+B''I^{2}}=\sqrt{40^{2}+80^{2}}=40\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore AM+BN+MN=(40\sqrt{5}+40)\ \mathrm{m}$，
$\therefore$步行观光路线的最短长度为$(40\sqrt{5}+40)\ \mathrm{m}$。