3. 在 $ △ A B C $中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC边于点M，N。
(1) 如图1-4-9 $ \textcircled{1} $ ，若 $ △ AMN $是等边三角形，求 $ ∠ BAC $的度数。
(2) 如图1-4-9 $ \textcircled{2} $ ，若 $ ∠ B A C=1 3 5° $ ，求证： $ B M^{2}+C N^{2}=M N^{2}。 $
(3) 如图1-4-9 $ \textcircled{3} $ ， $ ∠ A B C $的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H。若 $ AB=4 $ ， $ CB=9 $ ，求AH的长。

3. (1)解：$\because △ AMN$是等边三角形，
$\therefore ∠ AMN=∠ ANM=60°$。
$\because$点$M$在$AB$的垂直平分线上，
$\therefore AM=BM$。$\therefore ∠ B=∠ BAM=30°$。
$\because$点$N$在$AC$的垂直平分线上，
$\therefore AN=CN$。$\therefore ∠ C=∠ CAN=30°$。
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°$。
(2)证明：如答图1 - 4 - 3①，连接$AM$，$AN$。
$\because ∠ BAC=135°$，$\therefore ∠ B+∠ C=45°$。
又$\because$点$M$在$AB$的垂直平分线上，
$\therefore AM=BM$。$\therefore ∠ BAM=∠ B$。
又$\because$点$N$在$AC$的垂直平分线上，
$\therefore AN=CN$。$\therefore ∠ NAC=∠ C$。
$\therefore ∠ BAM+∠ CAN=45°$。$\therefore ∠ MAN=90°$。
$\therefore AM^2+AN^2=MN^2$。$\therefore BM^2+CN^2=MN^2$。

(3)解：如答图1 - 4 - 3②，连接$AP$，$CP$，过点$P$作$PE⊥ BC$于点$E$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$PH⊥ BA$，$PE⊥ BC$，
$\therefore PH=PE$。
$\because$点$P$在$AC$的垂直平分线上，$\therefore AP=CP$。
在$\mathrm{Rt}△ APH$和$\mathrm{Rt}△ CPE$中，
$\because AP=CP$，$PH=PE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ APH≌\mathrm{Rt}△ CPE(\mathrm{HL})$。$\therefore AH=CE$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$PH⊥ BA$，$PE⊥ BC$，
$\therefore ∠ HBP=∠ CBP$，$∠ BHP=∠ BEP=90°$。
在$△ BPH$和$△ BPE$中，
$\because ∠ HBP=∠ EBP$，$∠ BHP=∠ BEP$，$BP=BP$，
$\therefore △ BPH≌△ BPE(\mathrm{AAS})$。$\therefore BH=BE$。
$\therefore BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH$，
$\therefore AH=(BC - AB)÷2=\frac{9 - 4}{2}=\frac{5}{2}$。

1. 如图1-4-10，三个村庄 A，B，C构成 $ △ ABC $，供奶站需到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）。 A. 三条边的垂直平分线的交点处
B. 三角形三条角平分线的交点处
C. 三角形三条高的交点处
D. 三角形三条中线的交点处

1. A