1. 如图1-4-7，在 $ △ A B C $中， $ ∠ C=90° $ ，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE。
(1) 判断 DE与 PD的位置关系，并说明理由； (2) 若 AC=6，BC=8，PA=2，求线段 DE的长。

1. 解：(1)$DE⊥ PD$。理由：
$\because PD=PA$，$\therefore ∠ PDA=∠ A$。
$\because EF$垂直平分$BD$，$\therefore ED=EB$。$\therefore ∠ EDB=∠ B$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。$\therefore ∠ PDA+∠ EDB=90°$。
$\therefore ∠ PDE=90°$。$\therefore DE⊥ PD$。
(2)如答图1 - 4 - 1，连接$PE$。

$\because AC=6$，$PA=2$，
$\therefore CP=AC - PA = 4$，$PD=PA=2$。
设$DE=BE=x$，则$CE=8 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ PEC$中，根据勾股定理，得$PE^2=4^2+(8 - x)^2$。
在$\mathrm{Rt}△ PDE$中，根据勾股定理，得$PE^2=2^2+x^2$。
$\therefore 4^2+(8 - x)^2=2^2+x^2$，解得$x=\frac{19}{4}$。
$\therefore DE$的长为$\frac{19}{4}$。

2. 如图1-4-8 $ \textcircled{1} $ ，在 $ △ A B C $中， $ A B=A C $ ，O为 $ △ A B C $内一点，且 $ O B=O C $ ，求证：直线 AO垂直平分 BC。以下是小明的证明思路，请补充完整。

(1) 要证直线 AO垂直平分 BC，只需证点 A，O都在 BC的垂直平分线上，只需证_______ ___ =___ ，_______ =___ 。
(2) 如图1-4-8 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且BD=CE。请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线。（不写画法，保留画图痕迹）
(3) 如图1-4-8 $ \textcircled{3} $ ，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE， $ ∠ B=∠ E $ ，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由。

2. 解：(1)$AB$；$AC$；$OB$；$OC$
(2)如答图1 - 4 - 2①，直线$AO$为所求。

(3)如答图1 - 4 - 2②，连接$AC$，$AD$，连接$BD$，$CE$交于点$O$，直线$AO$垂直平分$CD$。理由：
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\because AB=AE$，$∠ ABC=∠ AED$，$BC=ED$，
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AC=AD$，$∠ ACB=∠ ADE$。
$\therefore$点$A$在$CD$的垂直平分线上，$∠ ACD=∠ ADC$。
$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=∠ ADE+∠ ADC$。
$\therefore ∠ BCD=∠ CDE$。
在$△ BCD$和$△ EDC$中，
$\because BC=ED$，$∠ BCD=∠ CDE$，$CD=CD$，
$\therefore △ BCD≌△ EDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$。
$\therefore OC=OD$。$\therefore$点$O$在$CD$的垂直平分线上。
$\therefore AO$垂直平分$CD$。