2. 如图1-2-17，在 $ △ A B C $中， $ AB=AC $ $ ∠ B A C=9 0° $ ，D是BC上一动点，以AD为底，在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AE的延长线交BC于点F。
$ \textcircled{1} $求证：BD=CF； (1) 当 AD=AF时。
$ \textcircled{2} $若 AB=6，求线段 DF的长；
(2) 若 BD=8，CF=15，求线段 AB的长。

2. (1)①证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ ACF$。
$\because AD=AF$，$\therefore ∠ ADF=∠ AFD$。$\therefore ∠ ADB=∠ AFC$。
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{AAS})$。$\therefore BD=CF$。
②解：$\because AB=6$，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=6\sqrt{2}$。
$\because △ ADE$是以$AD$为底的等腰直角三角形，
$\therefore ∠ ADE=∠ DAF=45°$。
$\because △ ABD≌△ ACF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAF=\dfrac{1}{2}(90°-∠ DAF)=22.5°$。
$\therefore ∠ BAF=∠ BAD+∠ DAF=67.5°$。
$\therefore ∠ AFB=180°-45°-67.5°=67.5°$。
$\therefore BF=AB=6$。
又$\because BD=CF$，$\therefore CD=BF=6$。
$\therefore DF=CD+BF-BC=12-6\sqrt{2}$。
(2)解：如答图1 - 2 - 5，过点$C$作$CG⊥ BC$于点$C$，并截$CG=BD=8$，连接$GF$，$GA$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=45°$。
$\because CG⊥ BC$，
$\therefore$易得$∠ ACG=∠ ABD=45°$。
在$△ ABD$和$△ ACG$中，
$\because AB=AC$，$∠ ABD=∠ ACG$，$BD=CG$，
$\therefore △ ABD≌△ ACG(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AG=AD$，$∠ GAC=∠ BAD$。
$\therefore ∠ GAD=∠ CAB=90°$。
$\because ∠ DAF=45°$，
$\therefore ∠ GAF=45°$。
$\therefore ∠ DAF=∠ GAF$。
又$\because AF=AF$，
$\therefore △ ADF≌△ AGF(\mathrm{SAS})$。$\therefore DF=GF$。
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中，$FG=\sqrt{CF^{2}+CG^{2}}=17$，
$\therefore DF=17$。
$\therefore BC=BD+DF+CF=8+17+15=40$。
$\therefore AB=20\sqrt{2}$。

1. 车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图1-3-1所示，按照规定 $ ∠ B=90° $ ，李师傅依次测量 $ △ ABC $ 三条边的长度，由此判断该零件是否合格。李师傅这样做的依据是（ ）。

A.直角三角形两锐角互余
B.三角形两边之和大于第三边
C.勾股定理
D.勾股定理的逆定理

1. D

2. 由下列条件不能判断 $ △ ABC $是直角三角形的是（ ）。

A.$ ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5 $
B.$ AB:BC:AC=3:4:5 $
C.$ ∠ A+∠ B=∠ C $
D.$ A B^{2}=B C^{2}+A C^{2} $

2. A

3. 一副三角尺按如图 1-3-2 所示的方式叠放，则 $ α $的度数是_______。

3. $75°$