【例1】 如图1,AB是$\odot O$的直径,点C是$\odot O$上异于点A,B的一点,连结AC,BC,延长BA至点E,使得$\angle ECA= \angle B$。
(1)求证：CE是$\odot O$的切线。
(2)如图2,若$\angle B= 30^{\circ}$,请写出三个你认为正确的结论。(注：不另外添加辅助线)

解:
(1)证明:连结OC,如图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°.
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠B+∠ACO=90°.
∵∠B=∠ECA,
∴∠ECA+∠ACO=90°,
∴∠ECO=90°,
∴EC⊥OC.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(2)
∵∠B=30°,
∴∠CAB=60°,AB=2AC.
∵∠ECA=∠B=30°,
∴∠E=30°,
∴EA=AC.
∴正确的结论有AB=2AC,∠E=30°,EA=AC 等.(答案不唯一)

【变式1】 如图,AB是半圆O的直径,C是半圆弧上一点,PD切圆O于点P,且PD//BC交AB的延长线于点D。若AB= 10,$\cos D= \frac{4}{5}$,则PC= ______。

2$\sqrt{5}$

【变式2】 如图,$\odot O$上有A,B,C三点,D是OB延长线上的点,$\angle BDC= 30^{\circ}$,CD是$\odot O$的切线,$\odot O的半径为\sqrt{2}$。
(1)求$\angle A$的度数。
(2)如果AC//BD,请判断四边形ACDB是什么四边形,并求其周长。

解:
(1)如图,连结OC.
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.
∵∠BDC=30°,
∴∠BOC=60°,
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°.
(2)四边形ACDB是平行四边形.
∵AC//BD,
∴∠D+∠ACD=180°,
∴∠ACD=150°,
∴∠ACD+∠BAC=180°,
∴AB//CD,
∴四边形ACDB是平行四边形.
在Rt△DOC中,∠OCD=90°,∠BDC=30°,
∴OD=2OC=2$\sqrt{2}$,
∴CD=$\sqrt{6}$,BD=OB=$\sqrt{2}$
∴平行四边形ACDB的周长为2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$

【例2】 如图,平行四边形ABCD的边AD与经过A,B,C三点的$\odot O$相切。
(1)求证：A是$\widehat{BC}$的中点。
(2)延长DC交$\odot O$于点E,连结BE,若BE= 4$\sqrt{13}$,$\odot O$的半径为13,求BC的长。

解:
(1)证明:如图1,连结OA交BC于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠DAF=∠CFO.
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°,
∴∠OFC=90°,
∴OF⊥BC,
∴OA平分BC,即点A是BC的中点.
(2)如图2,连结OB.
∵AB//DE,
∴∠BCE=∠ABC,
∴BE=AC=AB,
∴BE=AB=4$\sqrt{13}$
∵OA⊥BC,
∴AB²−AF²=BF²,
OB²−OF²=BF².
设OF=x,则AF=13 - x
∴13²−x²=(4$\sqrt{13}$)²−(13−x)²,解得x=5,
∴BF= $\sqrt{OB²−OF²}$= $\sqrt{13²−5²}$=12,
∴BC=2BF=24.