9. 如图,直尺、三角尺都和⊙O相切,B是切点,且AB= 8 cm.求⊙O的直径.

解:如图,设 E 是三角尺与$\odot O$的切点,连结 OE,OA,OB.

∵AC,AB 都是$\odot O$的切线,切点分别是 E,B,
∴∠OBA=∠OEA=90°.
又
∵OB=OE,OA=OA,
∴Rt△OBA≌Rt△OEA(HL),
∴∠OAB=∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠CAD=60°,
∴∠BAC=120°,
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°,
∴OB=AB·tan∠OAB=8$\sqrt{3}$cm,
即$\odot O$的半径为 8$\sqrt{3}$cm,
∴$\odot O$的直径为 16$\sqrt{3}$cm.

10. 如图,正方形ABCD的边长为4,以边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为( )

A.3:4
B.3:5
C.4:5
D.6:7

D 【解析】
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴DC=AD=AB=BC=4,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AB//CD,
根据切线长定理得,BE=EF,DF=DC=4,
设 BE=EF=x,
在 Rt△AED 中,AE=4 - x,AD=CD=4,DE=x + 4,
根据勾股定理可得(4 - x)²+4²=(x + 4)²,
解得 x = 1,
∴AE=3,DE=5,BE=1,
∴△ADE 的周长为 3 + 4 + 5 = 12,
直角梯形 EBCD 的周长为 1 + 4 + 4 + 5 = 14,
∴△ADE 和直角梯形 EBCD 的周长之比为 12:14 = 6:7.

11. 如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,点C,D在⊙O上.若∠P= 102°,则∠PAD+∠C= ______.

219° 【解析】连结 AB,如图.

∵PA,PB 是$\odot O$的切线,
∴PA=PB.
∵∠P=102°,
∴∠PAB=∠PBA=$\frac{1}{2}$(180° - 102°)=39°.
∵∠DAB+∠C=180°,
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.

12. 如图,已知射线PO与⊙O交于A,B两点,PC,PD分别切⊙O于点C,D.
(1)请写出两个不同类型的正确结论.
(2)若CD= 12,tan∠CPO= 1/2,求PO的长.

(1)如图,不同类型的正确结论:①PC=PD,②∠CPO=∠DPA,③CD⊥BA,④PC²=PA·PB.(任写两个即可)
(2)如图,连结 OC.

∵PC,PD 分别切$\odot O$于点 C,D,
∴PC=PD,∠CPO=∠DPA,
∴CD⊥PA.设 CD 与 PO 交于点 E.
∵CD=12,
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD=6.
∵tan∠CPO=$\frac{1}{2}$,
∴在 Rt△EPC 中,PE=12,
∴由勾股定理得 CP=6$\sqrt{5}$.
∵PC 切$\odot O$于点 C,
∴∠OCP=90°.
在 Rt△OPC 中,
∵tan∠CPO=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OC}{PC}$=$\frac{1}{2}$,
∴OC=3$\sqrt{5}$,
∴OP=$\sqrt{OC²+PC²}$=15.