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4. 一杯纯牛奶，小丽喝了半杯后，加满了水，又喝了半杯。小丽一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
答案
4. 牛奶: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ (杯)
水: $\frac{1}{4}$ (杯)
水: $\frac{1}{4}$ (杯)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分步骤分析小丽每次喝的纯牛奶和水的量：
1. 分析纯牛奶的摄入量：第一次喝了半杯纯牛奶，即$\frac{1}{2}$杯，此时杯子里剩余纯牛奶为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$杯；之后加满水，杯子里液体总量仍为1杯，其中纯牛奶占$\frac{1}{2}$。第二次喝了半杯，这半杯里的纯牛奶是剩余纯牛奶的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，将两次喝的纯牛奶相加就是总纯牛奶量。
2. 分析水的摄入量：第一次小丽没有喝水，是喝纯牛奶后加了$\frac{1}{2}$杯水；第二次喝的半杯液体中，水的量是加入的水的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，这就是总喝水量。
【解析】
计算纯牛奶的总量：
1. 第一次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}$杯
2. 第二次喝的纯牛奶：剩余纯牛奶为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$杯，第二次喝半杯，其中纯牛奶占$\frac{1}{2}$，所以第二次喝的纯牛奶为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
3. 总共喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（杯）
计算水的总量：
第一次未喝水，第二次喝的水是加入的$\frac{1}{2}$杯水的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，因此总共喝水$\frac{1}{4}$杯
【答案】
纯牛奶：$\frac{3}{4}$杯；水：$\frac{1}{4}$杯
【知识点】
分数的意义、分数加减法、分数乘法应用
【点评】
本题重点考查分数意义的理解与分数运算的实际应用，解题关键是明确每次喝的混合液体中纯牛奶和水的占比，尤其要注意第二次喝的液体里，纯牛奶和水的量需根据剩余牛奶和加入水的量计算，容易出现混淆，需理清每一步的数量关系。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要分步骤分析小丽每次喝的纯牛奶和水的量：
1. 分析纯牛奶的摄入量：第一次喝了半杯纯牛奶，即$\frac{1}{2}$杯，此时杯子里剩余纯牛奶为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$杯；之后加满水，杯子里液体总量仍为1杯，其中纯牛奶占$\frac{1}{2}$。第二次喝了半杯，这半杯里的纯牛奶是剩余纯牛奶的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，将两次喝的纯牛奶相加就是总纯牛奶量。
2. 分析水的摄入量：第一次小丽没有喝水，是喝纯牛奶后加了$\frac{1}{2}$杯水；第二次喝的半杯液体中，水的量是加入的水的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，这就是总喝水量。
【解析】
计算纯牛奶的总量：
1. 第一次喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}$杯
2. 第二次喝的纯牛奶：剩余纯牛奶为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$杯，第二次喝半杯，其中纯牛奶占$\frac{1}{2}$，所以第二次喝的纯牛奶为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
3. 总共喝的纯牛奶：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$（杯）
计算水的总量：
第一次未喝水，第二次喝的水是加入的$\frac{1}{2}$杯水的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯，因此总共喝水$\frac{1}{4}$杯
【答案】
纯牛奶：$\frac{3}{4}$杯；水：$\frac{1}{4}$杯
【知识点】
分数的意义、分数加减法、分数乘法应用
【点评】
本题重点考查分数意义的理解与分数运算的实际应用，解题关键是明确每次喝的混合液体中纯牛奶和水的占比，尤其要注意第二次喝的液体里，纯牛奶和水的量需根据剩余牛奶和加入水的量计算，容易出现混淆，需理清每一步的数量关系。
【难度系数】
0.6
5. 一瓶芒果汁，小明喝了$\frac{1}{3}$瓶后，加满了水，又喝了$\frac{1}{2}$瓶。小明一共喝了多少瓶芒果汁？多少瓶水？
答案
5. 芒果汁: $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ (瓶)
水: $\frac{1}{6}$ (瓶)
水: $\frac{1}{6}$ (瓶)
解析
【分析】
要解决这个问题，需分别梳理小明喝的芒果汁和水的量：
1. 芒果汁部分：第一次直接喝了$\frac{1}{3}$瓶，剩余芒果汁为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$瓶；加满水后，瓶内液体总量仍为1瓶，此时芒果汁占$\frac{2}{3}$，喝掉$\frac{1}{2}$瓶时，这部分里的芒果汁是剩余芒果汁的$\frac{1}{2}$，即$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$瓶，将两次喝的芒果汁相加就是总量。
2. 水的部分：第一次喝芒果汁后加了$\frac{1}{3}$瓶水，第二次喝的$\frac{1}{2}$瓶液体中，水的量是加入水量的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$瓶，由于第一次未喝水，这就是喝水的总量。
【解析】
计算喝的芒果汁总量：
1. 第一次喝的芒果汁：$\frac{1}{3}$瓶
2. 第一次喝完后剩余的芒果汁：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（瓶）
3. 第二次喝的芒果汁：$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$（瓶）
4. 总共喝的芒果汁：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（瓶）
计算喝的水总量：
1. 加入的水量：$\frac{1}{3}$瓶（喝掉$\frac{1}{3}$瓶芒果汁后，加满水需加$\frac{1}{3}$瓶）
2. 第二次喝的水量：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$（瓶）
3. 总共喝的水：$\frac{1}{6}$瓶（第一次未喝水，仅第二次喝了水）
【答案】
芒果汁：$\frac{2}{3}$瓶；水：$\frac{1}{6}$瓶
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法计算
【点评】
这道题的核心是明确每次饮用液体中芒果汁和水的占比，易错点是误将第二次喝的$\frac{1}{2}$瓶当成全部是水，需注意第二次喝的液体包含剩余芒果汁和加入的水，要按比例计算各自的量。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分别梳理小明喝的芒果汁和水的量：
1. 芒果汁部分：第一次直接喝了$\frac{1}{3}$瓶，剩余芒果汁为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$瓶；加满水后，瓶内液体总量仍为1瓶，此时芒果汁占$\frac{2}{3}$，喝掉$\frac{1}{2}$瓶时，这部分里的芒果汁是剩余芒果汁的$\frac{1}{2}$，即$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$瓶，将两次喝的芒果汁相加就是总量。
2. 水的部分：第一次喝芒果汁后加了$\frac{1}{3}$瓶水，第二次喝的$\frac{1}{2}$瓶液体中，水的量是加入水量的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$瓶，由于第一次未喝水，这就是喝水的总量。
【解析】
计算喝的芒果汁总量：
1. 第一次喝的芒果汁：$\frac{1}{3}$瓶
2. 第一次喝完后剩余的芒果汁：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（瓶）
3. 第二次喝的芒果汁：$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$（瓶）
4. 总共喝的芒果汁：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（瓶）
计算喝的水总量：
1. 加入的水量：$\frac{1}{3}$瓶（喝掉$\frac{1}{3}$瓶芒果汁后，加满水需加$\frac{1}{3}$瓶）
2. 第二次喝的水量：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$（瓶）
3. 总共喝的水：$\frac{1}{6}$瓶（第一次未喝水，仅第二次喝了水）
【答案】
芒果汁：$\frac{2}{3}$瓶；水：$\frac{1}{6}$瓶
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法计算
【点评】
这道题的核心是明确每次饮用液体中芒果汁和水的占比，易错点是误将第二次喝的$\frac{1}{2}$瓶当成全部是水，需注意第二次喝的液体包含剩余芒果汁和加入的水，要按比例计算各自的量。
【难度系数】
0.6
6. 小强喝一杯果汁。第一次喝了一杯果汁的$\frac{1}{3}$，然后加满水；第二次喝了一杯的$\frac{1}{4}$，然后再加满水；第三次一饮而尽。小强一共喝了多少杯果汁？多少杯水？
答案
6. 果汁: 1 (杯)
水: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$ (杯)
水: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$ (杯)
解析
【分析】
这道题的关键是区分果汁和水的总量变化：
1. 对于果汁：一开始只有1杯，整个过程中没有再添加果汁，最后全部喝完，所以喝的果汁总量就是最初的1杯。
2. 对于水：每次喝掉一部分后添加的都是水，添加的水最后都被喝完了，所以喝的水的总量就是两次添加的水的总和，只需算出两次分别加了多少水再相加即可。
【解析】
1. 计算喝的果汁量：
初始有1杯果汁，过程中未添加新的果汁，第三次全部喝完，因此小强喝的果汁总量为1杯。
2. 计算喝的水量：
第一次喝完后添加了$\frac{1}{3}$杯水，第二次喝完后添加了$\frac{1}{4}$杯水，两次添加的水最终都被喝完，所以喝的水总量为：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$（杯）
【答案】
果汁：1杯；水：$\frac{7}{12}$杯
【知识点】
分数加法运算、总量不变分析
【点评】
本题核心是抓住“果汁总量始终不变”的关键，避免被多次喝的过程干扰；水的总量等于每次添加的水量之和，理清这两个逻辑即可轻松解题，侧重考查学生的逻辑思维和分数运算能力。
【难度系数】
0.7
这道题的关键是区分果汁和水的总量变化：
1. 对于果汁：一开始只有1杯，整个过程中没有再添加果汁，最后全部喝完，所以喝的果汁总量就是最初的1杯。
2. 对于水：每次喝掉一部分后添加的都是水，添加的水最后都被喝完了，所以喝的水的总量就是两次添加的水的总和，只需算出两次分别加了多少水再相加即可。
【解析】
1. 计算喝的果汁量：
初始有1杯果汁，过程中未添加新的果汁，第三次全部喝完，因此小强喝的果汁总量为1杯。
2. 计算喝的水量：
第一次喝完后添加了$\frac{1}{3}$杯水，第二次喝完后添加了$\frac{1}{4}$杯水，两次添加的水最终都被喝完，所以喝的水总量为：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$（杯）
【答案】
果汁：1杯；水：$\frac{7}{12}$杯
【知识点】
分数加法运算、总量不变分析
【点评】
本题核心是抓住“果汁总量始终不变”的关键，避免被多次喝的过程干扰；水的总量等于每次添加的水量之和，理清这两个逻辑即可轻松解题，侧重考查学生的逻辑思维和分数运算能力。
【难度系数】
0.7
7. 修路队修一条公路。第一天上午修了$\frac{8}{25}$km，下午修了$\frac{3}{20}$km，第二天上午修了$\frac{7}{25}$km，下午修了$\frac{9}{20}$km。两天一共修路多少千米？
答案
7. $\frac{8}{25}+\frac{3}{20}+\frac{7}{25}+\frac{9}{20}=\frac{6}{5}$ (km)
解析
【分析】
要计算两天一共修路的长度，需将第一天上午、下午和第二天上午、下午修的路长相加。观察各分数可知，$\frac{8}{25}$与$\frac{7}{25}$分母相同，$\frac{3}{20}$与$\frac{9}{20}$分母相同，可利用加法交换律和结合律，先把同分母分数相加，再将结果合并，这样能简化计算步骤，避免复杂的通分操作。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{8}{25}+\frac{3}{20}+\frac{7}{25}+\frac{9}{20}\\=&(\frac{8}{25}+\frac{7}{25})+(\frac{3}{20}+\frac{9}{20})\\=&\frac{15}{25}+\frac{12}{20}\\=&\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\\=&\frac{6}{5}\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$\frac{6}{5}$千米
【知识点】
分数加法运算，加法交换律与结合律，同分母分数加法
【点评】
本题考查分数加法的简便运算，通过观察分数分母的特点，合理运用加法运算定律将同分母分数优先相加，简化了计算过程，要求学生熟练掌握分数加法法则及运算定律的灵活应用。
【难度系数】
0.9
要计算两天一共修路的长度，需将第一天上午、下午和第二天上午、下午修的路长相加。观察各分数可知，$\frac{8}{25}$与$\frac{7}{25}$分母相同，$\frac{3}{20}$与$\frac{9}{20}$分母相同，可利用加法交换律和结合律，先把同分母分数相加，再将结果合并，这样能简化计算步骤，避免复杂的通分操作。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{8}{25}+\frac{3}{20}+\frac{7}{25}+\frac{9}{20}\\=&(\frac{8}{25}+\frac{7}{25})+(\frac{3}{20}+\frac{9}{20})\\=&\frac{15}{25}+\frac{12}{20}\\=&\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\\=&\frac{6}{5}\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$\frac{6}{5}$千米
【知识点】
分数加法运算，加法交换律与结合律，同分母分数加法
【点评】
本题考查分数加法的简便运算，通过观察分数分母的特点，合理运用加法运算定律将同分母分数优先相加，简化了计算过程，要求学生熟练掌握分数加法法则及运算定律的灵活应用。
【难度系数】
0.9
学校歌咏比赛设一、二、三等奖若干名。一、二等奖占获奖总人数的$\frac{1}{2}$，二、三等奖占获奖总人数的$\frac{4}{5}$。一、二、三等奖各占获奖总人数的几分之几？
答案
拓展园
二等奖: $\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{3}{10}$ 一等奖: $\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$
三等奖: $\frac{4}{5}-\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$
二等奖: $\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{3}{10}$ 一等奖: $\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$
三等奖: $\frac{4}{5}-\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先把获奖总人数看作单位“1”。我们发现，“一、二等奖的占比”加上“二、三等奖的占比”，其中二等奖的占比被重复计算了一次，这个和比单位“1”多出的部分就是二等奖的占比。求出二等奖的占比后，用一、二等奖的总占比减去二等奖的占比就能得到一等奖的占比，用二、三等奖的总占比减去二等奖的占比就能得到三等奖的占比。
【解析】
1. 计算二等奖的占比：
把获奖总人数看作单位“1”，一、二等奖占$\frac{1}{2}$，二、三等奖占$\frac{4}{5}$，两者相加后二等奖占比被重复计算一次，因此：
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1$
$=\frac{5}{10}+\frac{8}{10}-1$
$=\frac{13}{10}-1$
$=\frac{3}{10}$
2. 计算一等奖的占比：
用一、二等奖的总占比减去二等奖的占比：
$\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$
$=\frac{5}{10}-\frac{3}{10}$
$=\frac{1}{5}$
3. 计算三等奖的占比：
用二、三等奖的总占比减去二等奖的占比：
$\frac{4}{5}-\frac{3}{10}$
$=\frac{8}{10}-\frac{3}{10}$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
一等奖占获奖总人数的$\frac{1}{5}$，二等奖占$\frac{3}{10}$，三等奖占$\frac{1}{2}$
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的运用、分数混合运算
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，关键是找准单位“1”，理解“一、二等奖占比+二、三等奖占比”与单位“1”的差值就是重复计算的二等奖占比，需要学生理清各奖项占比之间的数量关系，灵活运用分数运算解决问题。
【难度系数】
0.6
首先把获奖总人数看作单位“1”。我们发现，“一、二等奖的占比”加上“二、三等奖的占比”，其中二等奖的占比被重复计算了一次，这个和比单位“1”多出的部分就是二等奖的占比。求出二等奖的占比后，用一、二等奖的总占比减去二等奖的占比就能得到一等奖的占比，用二、三等奖的总占比减去二等奖的占比就能得到三等奖的占比。
【解析】
1. 计算二等奖的占比：
把获奖总人数看作单位“1”，一、二等奖占$\frac{1}{2}$，二、三等奖占$\frac{4}{5}$，两者相加后二等奖占比被重复计算一次，因此：
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1$
$=\frac{5}{10}+\frac{8}{10}-1$
$=\frac{13}{10}-1$
$=\frac{3}{10}$
2. 计算一等奖的占比：
用一、二等奖的总占比减去二等奖的占比：
$\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$
$=\frac{5}{10}-\frac{3}{10}$
$=\frac{1}{5}$
3. 计算三等奖的占比：
用二、三等奖的总占比减去二等奖的占比：
$\frac{4}{5}-\frac{3}{10}$
$=\frac{8}{10}-\frac{3}{10}$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
一等奖占获奖总人数的$\frac{1}{5}$，二等奖占$\frac{3}{10}$，三等奖占$\frac{1}{2}$
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的运用、分数混合运算
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，关键是找准单位“1”，理解“一、二等奖占比+二、三等奖占比”与单位“1”的差值就是重复计算的二等奖占比，需要学生理清各奖项占比之间的数量关系，灵活运用分数运算解决问题。
【难度系数】
0.6
