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10. $(1+\frac{□}{x - 1})÷\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$化简后的结果为$1+\frac{1}{x}$，则“$□$”所表示的代数式是(
A.$1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x^{2}-1$
A
)。A.$1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x^{2}-1$
答案
10. A
11. 【数学应用】某市计划对一条长为$x$m的公路进行改造铺设。有甲、乙两个工程队，甲工程队单独铺设需要$2a$天，乙工程队单独铺设需要$3a$天，则甲工程队比乙工程队每天多铺设
$\frac{x}{6a}$
m，甲、乙两队一起铺设这段公路需要$\frac{6a}{5}$
天。答案
11. $\frac{x}{6a}$ $\frac{6a}{5}$
12. 若$a + 3b = 0$，则$(1-\frac{b}{a + 2b})÷\frac{a^{2}+2ab + b^{2}}{a^{2}-4b^{2}}$的值为
$\frac{5}{2}$
。答案
12. $\frac{5}{2}$
13. 化简$\frac{1}{1 - x}÷\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-2x + 1}+\frac{1}{x + 2}$，并从不等式组$\begin{cases}5 - 2x≥1,\\x + 3＞0\end{cases}$的整数解中选择一个你喜欢的求值。
答案
13. 解:$\frac{1}{1 - x}÷\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-2x + 1}+\frac{1}{x + 2}$
$=\frac{1}{1 - x}·\frac{(x - 1)^{2}}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}$
$=\frac{1 - x}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}$
$=\frac{1 - x + x}{x(x + 2)}=\frac{1}{x(x + 2)}$。
由不等式组$\begin{cases}5 - 2x≥1\\x + 3＞0\end{cases}$得$-3＜x≤2$，
又由题意知，$x≠1$且$x≠0$且$x≠ - 2$，$x$为整数，
故$x$可取2。
当$x = 2$时，原式$=\frac{1}{x(x + 2)}=\frac{1}{2×(2 + 2)}=\frac{1}{8}$。
(求值答案不唯一)
$=\frac{1}{1 - x}·\frac{(x - 1)^{2}}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}$
$=\frac{1 - x}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}$
$=\frac{1 - x + x}{x(x + 2)}=\frac{1}{x(x + 2)}$。
由不等式组$\begin{cases}5 - 2x≥1\\x + 3＞0\end{cases}$得$-3＜x≤2$，
又由题意知，$x≠1$且$x≠0$且$x≠ - 2$，$x$为整数，
故$x$可取2。
当$x = 2$时，原式$=\frac{1}{x(x + 2)}=\frac{1}{2×(2 + 2)}=\frac{1}{8}$。
(求值答案不唯一)
14. 【综合与实践】化简：$(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})·\frac{x^{2}-1}{x}$。下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学
解：原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]·\frac{x^{2}-1}{x}=···$
乙同学
解：原式$=\frac{x}{x + 1}·\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{x^{2}-1}{x}=···$
(1)甲同学解法的依据是
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程。
甲同学
解：原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]·\frac{x^{2}-1}{x}=···$
乙同学
解：原式$=\frac{x}{x + 1}·\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{x^{2}-1}{x}=···$
(1)甲同学解法的依据是
②
，乙同学解法的依据是③
；(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④乘法交换律。
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程。
答案
14. (1)② ③
(2)解:选择甲同学的解法:
原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{x(x - 1)+x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{2x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$
$=2x$。
选择乙同学的解法:
原式$=\frac{x}{x + 1}·\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{x}{x + 1}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$
$=x - 1 + x + 1$
$=2x$。(答案不唯一,选择一种即可)
(2)解:选择甲同学的解法:
原式$=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}]·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{x(x - 1)+x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{2x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$
$=2x$。
选择乙同学的解法:
原式$=\frac{x}{x + 1}·\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{x^{2}-1}{x}$
$=\frac{x}{x + 1}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}+\frac{x}{x - 1}·\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$
$=x - 1 + x + 1$
$=2x$。(答案不唯一,选择一种即可)
