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三、解答题
9. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为 $ 1 $ 个单位长度，三角形 $ ABC $ 的三个顶点均在格点上。现将三角形 $ ABC $ 平移，使得点 $ A $ 移动到点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是点 $ B $，$ C $ 的对应点。
(1)请画出平移后的三角形 $ DEF $，并求三角形 $ DEF $ 的面积；
(2)在正方形网格中找出格点 $ P $，使 $ S_{\mathrm{三角形}ABC} = S_{\mathrm{三角形}BCP} $，这样的格点 $ P $ 有个。
9. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长均为 $ 1 $ 个单位长度，三角形 $ ABC $ 的三个顶点均在格点上。现将三角形 $ ABC $ 平移，使得点 $ A $ 移动到点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是点 $ B $，$ C $ 的对应点。
(1)请画出平移后的三角形 $ DEF $，并求三角形 $ DEF $ 的面积；
(2)在正方形网格中找出格点 $ P $，使 $ S_{\mathrm{三角形}ABC} = S_{\mathrm{三角形}BCP} $，这样的格点 $ P $ 有个。
答案
(1)5；(2)8
解析
(1)根据点A到点D的平移方向和距离，将B、C分别平移得到E、F，连接DEF。用割补法求△ABC面积：以A、B、C为顶点构造矩形，矩形面积为4×3=12，减去三个直角三角形面积（3、2、2），得12-3-2-2=5，故△DEF面积=5。
(2)△BCP与△ABC面积相等，以BC为底则高相等，在BC两侧与BC平行的直线上找格点，共8个。
(2)△BCP与△ABC面积相等，以BC为底则高相等，在BC两侧与BC平行的直线上找格点，共8个。
如图，射线 $ AM // BN $，点 $ E $，$ F $，$ D $ 在射线 $ AM $ 上，点 $ C $ 在射线 $ BN $ 上，且 $ ∠ BCD = ∠ A $，$ BE $ 平分 $ ∠ ABF $，$ BD $ 平分 $ ∠ FBC $。
（1）求证：$ AB // CD $。
（2）如果水平向左或向右平移 $ CD $，那么 $ ∠ AFB $ 与 $ ∠ ADB $ 的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值。
（3）如果 $ ∠ A = 100^{\circ} $，那么在水平向左或向右平移 $ CD $ 的过程中，是否存在某一时刻，使 $ ∠ AEB = ∠ BDC $？若存在，求出此时 $ ∠ AEB $ 的度数；若不存在，请说明理由。
（1）求证：$ AB // CD $。
（2）如果水平向左或向右平移 $ CD $，那么 $ ∠ AFB $ 与 $ ∠ ADB $ 的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值。
（3）如果 $ ∠ A = 100^{\circ} $，那么在水平向左或向右平移 $ CD $ 的过程中，是否存在某一时刻，使 $ ∠ AEB = ∠ BDC $？若存在，求出此时 $ ∠ AEB $ 的度数；若不存在，请说明理由。
答案
（1）见解析；（2）不变，2；（3）存在，60°
解析
（1）∵AM//BN，∴∠A+∠ABN=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠ABN=180°，∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）不变，比值为2。∵AM//BN，∴∠AFB=∠FBC（同位角相等）。∵BD平分∠FBC，∴∠FBC=2∠DBC，即∠AFB=2∠DBC。又AM//BN，∴∠ADB=∠DBC（内错角相等），∴∠AFB=2∠ADB，比值为2。
（3）存在，60°。∵AM//BN，∠A=100°，∴∠ABN=80°。设∠ABE=∠EBF=x，∠FBD=∠DBC=y，则2x+2y=80°，x+y=40°。∵AM//BN，∠AEB=∠EBC=x+2y；AB//CD，∠BDC=∠ABD=2x+y。令∠AEB=∠BDC，得x+2y=2x+y，∴x=y=20°，∠AEB=20°+2×20°=60°。
（2）不变，比值为2。∵AM//BN，∴∠AFB=∠FBC（同位角相等）。∵BD平分∠FBC，∴∠FBC=2∠DBC，即∠AFB=2∠DBC。又AM//BN，∴∠ADB=∠DBC（内错角相等），∴∠AFB=2∠ADB，比值为2。
（3）存在，60°。∵AM//BN，∠A=100°，∴∠ABN=80°。设∠ABE=∠EBF=x，∠FBD=∠DBC=y，则2x+2y=80°，x+y=40°。∵AM//BN，∠AEB=∠EBC=x+2y；AB//CD，∠BDC=∠ABD=2x+y。令∠AEB=∠BDC，得x+2y=2x+y，∴x=y=20°，∠AEB=20°+2×20°=60°。
