8. 如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O,CE// BD,BE// AC$,若$AC = 3$,则四边形$COBE$的周长等于.

8. 6

9. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC,DE// AC,DF// AB$,若$AE = 1$,则$AF$的长等于.

9. 1

10. (2023,齐齐哈尔,12)如图,在四边形$ABCD$中,$AD = BC,AC⊥ BD$于点$O$.请添加一个条件:,使四边形$ABCD$成为菱形.

10. $ AD // BC $ 或 $ AB = CD $ 或 $ OB = OD $ 或 $ ∠ ADB = ∠ CBD $ 等(答案不唯一)

11. (2025,新疆,19)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC,BD$是对角线.
(1) 尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作线段$BD$的垂直平分线,垂足为$O$,与边$AD,BC$分别交于点$E,F$(要求:不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,连接$BE,DF$,求证:四边形$BFDE$为菱形.

11. (1)解:如图,直线 EF 即为所求.
(2)证明:
∵直线 EF 是线段 BD 的垂直平分线,
∴ $ BE = DE $, $ BF = DF $, $ OB = OD $.
∵ $ AD // BC $,
∴ $ ∠ EDO = ∠ FBO $, $ ∠ DEO = ∠ BFO $.
∴ $ △ ODE ≌ △ OBF(AAS) $.
∴ $ DE = BF $.
∴ $ BE = DE = BF = DF $.
∴四边形 BFDE 为菱形.

12. (2025,贵州,20)如图,在$□ ABCD$中,$E$为对角线$AC$的中点,连接$BE$,且$BE⊥ AC$,垂足为$E$.延长$BC$至点$F$,使$CF = CE$,连接$EF,FD$,且$EF$交$CD$于点$G$.
(1) 求证:$□ ABCD$是菱形;
(2) 若$BE = EF,EC = 4$,求$△ DCF$的面积.

12. (1)证明:
∵E 为对角线 AC 的中点, $ BE ⊥ AC $,
∴BE 垂直平分 AC.
∴ $ AB = BC $.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $ □ ABCD $ 是菱形.
(2)解:
∵ $ BE = EF $,
∴ $ ∠ EBF = ∠ EFB $.
∵ $ CF = CE $,
∴ $ ∠ CEF = ∠ CFE $.
∴ $ ∠ BCE = ∠ CEF + ∠ CFE = 2∠ CFE = 2∠ EBF $.
∵ $ ∠ BEC = 90° $,
∴ $ ∠ CBE = 30° $, $ ∠ BCA = 60° $.
∴ $ ∠ ACB = ∠ ACD = 60° $.
∴ $ ∠ DCF = 180° - 60° - 60° = 60° $.
∴ $ ∠ BCE = ∠ DCF $.
∵ $ BC = CD $, $ CE = CF $,
∴ $ △ BCE ≌ △ DCF(SAS) $.
∴ $ ∠ BEC = ∠ DFC = 90° $.
∵ $ CF = CE = 4 $,
∴ $ DF = \sqrt{3}CF = 4\sqrt{3} $.
∴ $ △ DCF $ 的面积 $ = \frac{1}{2}DF · CF = 8\sqrt{3} $.