1. (2024,通辽,9)如图,$□ ABCD$的对角线$AC,BD$交于点$O$,以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是().

A.$∠ BAC = ∠ BCA$
B.$∠ ABD = ∠ CBD$
C.$OA^{2} + OB^{2} = AD^{2}$
D.$AD^{2} + OA^{2} = OD^{2}$

1. D

2. 如图,$□ ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$E$为边$BC$的中点,连接$EO$并延长交$AD$于点$F$,$∠ ABC = 60°,BC = 2AB$,有下列结论:
①$AB⊥ AC$;②$AO = \dfrac{1}{2}BD$;③四边形$AECF$是菱形;④$S_{△ BOE} = \dfrac{1}{8}S_{\mathrm{四边形}ABCD}$.
其中正确结论的个数是().

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

2. C

3. (2024,广西,17)如图,两张宽度均为$3\ \mathrm{cm}$的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为$60°$,则重合部分构成的四边形$ABCD$的周长为$\mathrm{cm}$.

3. $ 8\sqrt{3} $

4. 如图,点$E,F$分别在四边形$ABCD$的边$AB,BC$上,连接$DE,DF$,若$AB = AD,∠ 1 = ∠ 2,∠ 3 = ∠ 4$,为使四边形$ABCD$为菱形,需要添加的一个条件是.

4. $ AD = CD $ 或 $ AE = CF $ 等(答案不唯一)

5. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD,AB = AD$,对角线$AC,BD$交于点$O$,$AC$平分$∠ BAD$,过点$C$作$CE⊥ AB$交$AB$的延长线于点$E$,连接$OE$.
(1) 求证:四边形$ABCD$是菱形;
(2) 若$AB = \sqrt{5},BD = 2$,求$OE$的长.

5. (1)证明:
∵ $ AB // CD $,
∴ $ ∠ CAB = ∠ ACD $.
∵AC 平分 $ ∠ BAD $,
∴ $ ∠ CAB = ∠ CAD $.
∴ $ ∠ CAD = ∠ ACD $,
∴ $ AD = CD $.
∵ $ AB = AD $,
∴ $ AB = CD $.
又 $ AB // CD $,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 $ AB = AD $,
∴四边形 ABCD 是菱形.
(2)解:
∵四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 交于点 O,
∴ $ AC ⊥ BD $, $ OA = OC = \frac{1}{2}AC $,
$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 1 $.
在 $ Rt△ AOB $ 中, $ ∠ AOB = 90° $, $ OB = 1 $, $ AB = \sqrt{5} $,
∴ $ OA = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}} = 2 $.
∵ $ CE ⊥ AB $,
∴ $ ∠ AEC = 90° $.
∵O 为 AC 的中点,
∴ $ OE = \frac{1}{2}AC = OA = 2 $.