16. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 $ m $ 的大正方形，两块是边长都为 $ n $ 的小正方形，五块是长为 $ m $、宽为 $ n $ 的全等小矩形，且 $ m ＞ n $.(以上长度单位：$ \mathrm{cm} $)
(1) 观察图形，可以发现代数式 $ 2m^2 + 5mn + 2n^2 $ 可以因式分解为 $$$$；
(2) 若每块小矩形的面积为 $ 10 \, \mathrm{cm}^2 $，四个正方形的面积和为 $ 58 \, \mathrm{cm}^2 $，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.

16. (1) $(m + 2n)(2m + n)$
(2) 42 cm

【解析】
(1) 观察图形，大矩形的长为$2m+n$，宽为$m+2n$，其面积为$2m^2 + 5mn + 2n^2$，因此$2m^2 + 5mn + 2n^2=(m + 2n)(2m + n)$。
(2) 已知每块小矩形面积$mn=10\ \mathrm{cm}^2$，四个正方形面积和$2m^2+2n^2=58\ \mathrm{cm}^2$，则$m^2+n^2=29$。
由完全平方公式可得：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49$，
因为$m＞n＞0$，所以$m+n=7$。
图中所有裁剪线长之和为$2(2m+n)+2(m+2n)=2(3m+3n)=6(m+n)=6×7=42\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m + 2n)(2m + n)}$；(2) $\boldsymbol{42\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
因式分解的几何意义、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查了因式分解的几何背景及完全平方公式的应用，通过图形面积与代数式的联系，将代数与几何结合，体现了数形结合的思想，同时需要熟练运用完全平方公式进行变形计算。
【难度系数】
0.6

17. 请看下面的问题：把 $ x^4 + 4 $ 分解因式.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
可以发现该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用完全平方公式就必须添一项 $ 4x^2 $，随即将此项 $ 4x^2 $ 减去，即可得 $ x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) $. 请你模仿如上解法，将下列各式因式分解：
(1) $ x^4 + 4y^4 $；
(2) $ x^2 - 2ax - b^2 - 2ab $.

17. (1) $(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$
(2) $(x + b)(x - 2a - b)$

【解析】
(1) 模仿例题添项法，添加并减去中间项$4x^2y^2$：
$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$
$=(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$
利用平方差公式分解：
$=(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$
(2) 先分组再分解：
$x^2 - 2ax - b^2 - 2ab = x^2 - b^2 - 2ax - 2ab$
$=(x - b)(x + b) - 2a(x + b)$
提取公因式$(x + b)$：
$=(x + b)(x - b - 2a)$
$=(x + b)(x - 2a - b)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)}$；
(2) $\boldsymbol{(x + b)(x - 2a - b)}$
【知识点】
添项法因式分解、分组分解法、公式法因式分解
【点评】
本题需模仿例题思路，灵活运用添项法、分组法结合乘法公式进行因式分解，考查对因式分解方法的变通应用能力。
【难度系数】
0.4