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1. 计算$(3x + 2)(2x + 1) =$
$ 6x^{2}+7x+2 $
.答案
1. $ 6x^{2}+7x+2 $
解析
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(3x + 2)(2x + 1)&=3x·2x + 3x·1 + 2·2x + 2·1\\&=6x^2 + 3x + 4x + 2\\&=6x^2 + 7x + 2\end{aligned}$
【答案】
$6x^2+7x+2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题考查整式的乘法运算，重点考查多项式与多项式的乘法法则，运算时需注意正确展开每一项并合并同类项，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
根据多项式乘多项式的运算法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加：
$\begin{aligned}(3x + 2)(2x + 1)&=3x·2x + 3x·1 + 2·2x + 2·1\\&=6x^2 + 3x + 4x + 2\\&=6x^2 + 7x + 2\end{aligned}$
【答案】
$6x^2+7x+2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题考查整式的乘法运算，重点考查多项式与多项式的乘法法则，运算时需注意正确展开每一项并合并同类项，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 计算$(3m + n)(m - n - 1) =$
$ 3m^{2}-2mn-3m-n^{2}-n $
.答案
2. $ 3m^{2}-2mn-3m-n^{2}-n $
解析
【解析】
根据多项式乘多项式的法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(3m + n)(m - n - 1)\\=&3m· m - 3m· n - 3m·1 + n· m - n· n - n·1\\=&3m^2 - 3mn - 3m + mn - n^2 - n\\=&3m^2 - 2mn - 3m - n^2 - n\end{aligned}$
【答案】
$3m^{2}-2mn-3m-n^{2}-n$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题考查多项式乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握逐项相乘的方法，避免漏项，合并同类项时注意同类项的准确识别与系数运算。
【难度系数】
0.8
根据多项式乘多项式的法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(3m + n)(m - n - 1)\\=&3m· m - 3m· n - 3m·1 + n· m - n· n - n·1\\=&3m^2 - 3mn - 3m + mn - n^2 - n\\=&3m^2 - 2mn - 3m - n^2 - n\end{aligned}$
【答案】
$3m^{2}-2mn-3m-n^{2}-n$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题考查多项式乘法法则的应用，解题关键是熟练掌握逐项相乘的方法，避免漏项，合并同类项时注意同类项的准确识别与系数运算。
【难度系数】
0.8
3. 两式相乘能化简为$a^{2}-3a - 18$的是(
A.$(a - 2)(a + 9)$
B.$(a + 2)(a - 9)$
C.$(a - 5)(a - 3)$
D.$(a - 6)(a + 3)$
D
)A.$(a - 2)(a + 9)$
B.$(a + 2)(a - 9)$
C.$(a - 5)(a - 3)$
D.$(a - 6)(a + 3)$
答案
3. D
解析
【解析】
我们可以通过多项式乘多项式法则展开各选项，或对$a^{2}-3a - 18$进行因式分解来判断：
1. 因式分解法：利用十字相乘法，寻找两个数，乘积为-18且和为-3，这两个数是-6和3，因此$a^{2}-3a - 18=(a-6)(a+3)$。
2. 展开验证法：
A选项：$(a - 2)(a + 9)=a^2+7a-18$，不符合；
B选项：$(a + 2)(a - 9)=a^2-7a-18$，不符合；
C选项：$(a - 5)(a - 3)=a^2-8a+15$，不符合；
D选项：$(a - 6)(a + 3)=a^2-3a-18$，符合。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查多项式乘法与因式分解的互逆应用，需熟练掌握相关运算法则，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7
我们可以通过多项式乘多项式法则展开各选项，或对$a^{2}-3a - 18$进行因式分解来判断：
1. 因式分解法：利用十字相乘法，寻找两个数，乘积为-18且和为-3，这两个数是-6和3，因此$a^{2}-3a - 18=(a-6)(a+3)$。
2. 展开验证法：
A选项：$(a - 2)(a + 9)=a^2+7a-18$，不符合；
B选项：$(a + 2)(a - 9)=a^2-7a-18$，不符合；
C选项：$(a - 5)(a - 3)=a^2-8a+15$，不符合；
D选项：$(a - 6)(a + 3)=a^2-3a-18$，符合。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查多项式乘法与因式分解的互逆应用，需熟练掌握相关运算法则，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7
4. 若$(x + a)(x + b)$中不含$x$的一次项，则$a$与$b$关系是(
A.$a - b = 0$
B.$a = b≠0$
C.$a = b = 0$
D.$a + b = 0$
D
)A.$a - b = 0$
B.$a = b≠0$
C.$a = b = 0$
D.$a + b = 0$
答案
4. D
解析
【解析】
将$(x + a)(x + b)$根据多项式乘法法则展开，可得：
$(x + a)(x + b)=x^2+(a+b)x+ab$
由于式子中不含$x$的一次项，说明一次项的系数为0，即$a+b=0$，因此$a$与$b$的关系是$a+b=0$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、不含项的系数判定
【点评】
本题考查多项式乘法的基本运算，核心是掌握“不含某一项即该项系数为0”这一关键条件，通过展开多项式分析系数即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
将$(x + a)(x + b)$根据多项式乘法法则展开，可得：
$(x + a)(x + b)=x^2+(a+b)x+ab$
由于式子中不含$x$的一次项，说明一次项的系数为0，即$a+b=0$，因此$a$与$b$的关系是$a+b=0$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、不含项的系数判定
【点评】
本题考查多项式乘法的基本运算，核心是掌握“不含某一项即该项系数为0”这一关键条件，通过展开多项式分析系数即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知直角三角形两直角边分别为$2a + 3$，$a - 5$，那么该直角三角形的面积为
$ a^{2}-\frac{7}{2}a-\frac{15}{2} $
.答案
5. $ a^{2}-\frac{7}{2}a-\frac{15}{2} $
解析
【解析】
直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，将已知直角边代入公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=\frac{1}{2}(2a + 3)(a - 5)\\&=\frac{1}{2}(2a^2 - 10a + 3a - 15)\\&=\frac{1}{2}(2a^2 - 7a - 15)\\&=a^2 - \frac{7}{2}a - \frac{15}{2}\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}-\frac{7}{2}a-\frac{15}{2}$
【知识点】
直角三角形面积公式、多项式乘法运算
【点评】
本题主要考查直角三角形面积公式的应用及多项式的乘法与化简，运算时需注意符号和系数的正确处理，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，将已知直角边代入公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=\frac{1}{2}(2a + 3)(a - 5)\\&=\frac{1}{2}(2a^2 - 10a + 3a - 15)\\&=\frac{1}{2}(2a^2 - 7a - 15)\\&=a^2 - \frac{7}{2}a - \frac{15}{2}\end{aligned}$
【答案】
$a^{2}-\frac{7}{2}a-\frac{15}{2}$
【知识点】
直角三角形面积公式、多项式乘法运算
【点评】
本题主要考查直角三角形面积公式的应用及多项式的乘法与化简，运算时需注意符号和系数的正确处理，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
6. 先化简，再求值：
(1)$(x + 3)(x - 3)-x(x - 2)$，其中$x = - 4$.
(2)$(2a - b)(a - 2b)-2a(a - 3b)$，其中$a = 4$，$b = 4$.
(1)$(x + 3)(x - 3)-x(x - 2)$，其中$x = - 4$.
(2)$(2a - b)(a - 2b)-2a(a - 3b)$，其中$a = 4$，$b = 4$.
答案
6. (1) $ 2x-9 $，$ -17 $
(2) $ ab+2b^{2} $，$ 48 $
(2) $ ab+2b^{2} $，$ 48 $
解析
【解析】
(1) 先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}&(x + 3)(x - 3)-x(x - 2)\\=&x^2 - 9 - (x^2 - 2x)\\=&x^2 - 9 - x^2 + 2x\\=&2x - 9\end{aligned}$
将$x = -4$代入化简后的式子：
$2×(-4) - 9 = -8 - 9 = -17$
(2) 先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}&(2a - b)(a - 2b)-2a(a - 3b)\\=&2a^2 - 4ab - ab + 2b^2 - (2a^2 - 6ab)\\=&2a^2 - 5ab + 2b^2 - 2a^2 + 6ab\\=&ab + 2b^2\end{aligned}$
将$a = 4$，$b = 4$代入化简后的式子：
$4×4 + 2×4^2 = 16 + 32 = 48$
【答案】
(1) 化简结果为$2x - 9$，值为$-17$；
(2) 化简结果为$ab + 2b^2$，值为$48$
【知识点】
整式的化简求值、平方差公式、多项式乘法
【点评】
本题考查整式的化简求值运算，需熟练运用乘法公式及多项式乘法法则，先化简再代入计算可简化运算，提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}&(x + 3)(x - 3)-x(x - 2)\\=&x^2 - 9 - (x^2 - 2x)\\=&x^2 - 9 - x^2 + 2x\\=&2x - 9\end{aligned}$
将$x = -4$代入化简后的式子：
$2×(-4) - 9 = -8 - 9 = -17$
(2) 先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}&(2a - b)(a - 2b)-2a(a - 3b)\\=&2a^2 - 4ab - ab + 2b^2 - (2a^2 - 6ab)\\=&2a^2 - 5ab + 2b^2 - 2a^2 + 6ab\\=&ab + 2b^2\end{aligned}$
将$a = 4$，$b = 4$代入化简后的式子：
$4×4 + 2×4^2 = 16 + 32 = 48$
【答案】
(1) 化简结果为$2x - 9$，值为$-17$；
(2) 化简结果为$ab + 2b^2$，值为$48$
【知识点】
整式的化简求值、平方差公式、多项式乘法
【点评】
本题考查整式的化简求值运算，需熟练运用乘法公式及多项式乘法法则，先化简再代入计算可简化运算，提高计算准确率。
【难度系数】
0.8
7. 解方程$(x + 2)(x^{2}-2x)=x^{3}-8$.
答案
7. $ x=2 $
解析
【解析】
1. 对左边多项式进行展开化简：
$(x + 2)(x^2 - 2x) = x(x + 2)(x - 2) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$
2. 原方程转化为：
$x^3 - 4x = x^3 - 8$
3. 移项合并同类项：
$x^3 - x^3 - 4x = -8$，即$-4x = -8$
4. 系数化为1得：
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
多项式乘法、解一元一次方程
【点评】
本题通过整式运算将高次方程化简为一元一次方程求解，重点考查多项式展开与移项化简的基本运算能力，运算过程需注意符号准确性。
【难度系数】
0.8
1. 对左边多项式进行展开化简：
$(x + 2)(x^2 - 2x) = x(x + 2)(x - 2) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$
2. 原方程转化为：
$x^3 - 4x = x^3 - 8$
3. 移项合并同类项：
$x^3 - x^3 - 4x = -8$，即$-4x = -8$
4. 系数化为1得：
$x = 2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
多项式乘法、解一元一次方程
【点评】
本题通过整式运算将高次方程化简为一元一次方程求解，重点考查多项式展开与移项化简的基本运算能力，运算过程需注意符号准确性。
【难度系数】
0.8
8. 某商店经营一种产品，定价为每件$12$元，每天能售出$8$件.当每件降价$1$元时，可以多售出$3$件，则每件降价$x$元时，可以多售出
$ 3x $
件，此时共可以售出$ 3x+8 $
件，那么销售总收入$ -3x^{2}+28x+96 $
元.答案
8. $ 3x $ $ 3x+8 $ $ -3x^{2}+28x+96 $
解析
【解析】
1. 由每件降价1元可多售出3件，可知每件降价$x$元时，多售出的件数为$3x$件；
2. 原每天售出8件，降价后共售出的件数为原销售量加上多售出的件数，即$(3x+8)$件；
3. 降价后每件单价为$(12-x)$元，根据“销售总收入=单价×销售量”，可得总收入为$(12-x)(3x+8)$，展开计算：
$\begin{aligned}(12-x)(3x+8)&=12×3x + 12×8 - x×3x - x×8\\&=36x + 96 - 3x^2 - 8x\\&=-3x^2 + 28x + 96\end{aligned}$
【答案】
$3x$；$3x+8$；$-3x^2+28x+96$
【知识点】
列代数式；销售问题数量关系；多项式乘法
【点评】
本题考查销售问题中单价、销售量、总收入的数量关系，需根据降价与销量的变化规律准确列代数式，理清各量关系是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 由每件降价1元可多售出3件，可知每件降价$x$元时，多售出的件数为$3x$件；
2. 原每天售出8件，降价后共售出的件数为原销售量加上多售出的件数，即$(3x+8)$件；
3. 降价后每件单价为$(12-x)$元，根据“销售总收入=单价×销售量”，可得总收入为$(12-x)(3x+8)$，展开计算：
$\begin{aligned}(12-x)(3x+8)&=12×3x + 12×8 - x×3x - x×8\\&=36x + 96 - 3x^2 - 8x\\&=-3x^2 + 28x + 96\end{aligned}$
【答案】
$3x$；$3x+8$；$-3x^2+28x+96$
【知识点】
列代数式；销售问题数量关系；多项式乘法
【点评】
本题考查销售问题中单价、销售量、总收入的数量关系，需根据降价与销量的变化规律准确列代数式，理清各量关系是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 若$(2x - 1)(x + 3)=ax^{2}+bx + c$，则$a + b + c =$
4
.答案
9. 4
解析
【解析】
求$a + b + c$的值，可利用赋值法：
令$x = 1$，代入等式$(2x - 1)(x + 3)=ax^{2}+bx + c$左右两边：
左边$=(2×1 - 1)(1 + 3)=1×4 = 4$，
右边$=a×1^{2}+b×1 + c = a + b + c$，
由于等式左右两边相等，因此$a + b + c = 4$。
【答案】
4
【知识点】
赋值法求代数式值、多项式乘法
【点评】
本题考查多项式相关运算，赋值法是求解此类代数式值的简便方法，相比展开多项式对应系数的方法，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
求$a + b + c$的值，可利用赋值法：
令$x = 1$，代入等式$(2x - 1)(x + 3)=ax^{2}+bx + c$左右两边：
左边$=(2×1 - 1)(1 + 3)=1×4 = 4$，
右边$=a×1^{2}+b×1 + c = a + b + c$，
由于等式左右两边相等，因此$a + b + c = 4$。
【答案】
4
【知识点】
赋值法求代数式值、多项式乘法
【点评】
本题考查多项式相关运算，赋值法是求解此类代数式值的简便方法，相比展开多项式对应系数的方法，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在某住房小区的建设中，为了改善业主的宜居环境，小区准备在一个长为$(4a - b)$米，宽为$(2a + 3b)$米的长方形草坪上修建两条宽为$b$米的通道，则剩余草坪的面积是
$ 8a^{2}+4ab-4b^{2} $
平方米.答案
10. $ 8a^{2}+4ab-4b^{2} $
解析
【解析】
将两条通道平移后，剩余草坪可拼成一个新的长方形，
新长方形的长为：$(4a - b) - b = 4a - 2b$，
新长方形的宽为：$(2a + 3b) - b = 2a + 2b$，
则剩余草坪的面积为：
$\begin{aligned}&(4a - 2b)(2a + 2b)\\=&4a·2a + 4a·2b - 2b·2a - 2b·2b\\=&8a^2 + 8ab - 4ab - 4b^2\\=&8a^2 + 4ab - 4b^2\end{aligned}$
【答案】
$8a^{2}+4ab-4b^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式，图形割补法
【点评】
本题通过割补法将不规则的剩余草坪转化为规则长方形，简化面积计算，主要考查整式乘法的实际应用，需熟练掌握多项式乘多项式的运算法则。
【难度系数】
0.6
将两条通道平移后，剩余草坪可拼成一个新的长方形，
新长方形的长为：$(4a - b) - b = 4a - 2b$，
新长方形的宽为：$(2a + 3b) - b = 2a + 2b$，
则剩余草坪的面积为：
$\begin{aligned}&(4a - 2b)(2a + 2b)\\=&4a·2a + 4a·2b - 2b·2a - 2b·2b\\=&8a^2 + 8ab - 4ab - 4b^2\\=&8a^2 + 4ab - 4b^2\end{aligned}$
【答案】
$8a^{2}+4ab-4b^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式，图形割补法
【点评】
本题通过割补法将不规则的剩余草坪转化为规则长方形，简化面积计算，主要考查整式乘法的实际应用，需熟练掌握多项式乘多项式的运算法则。
【难度系数】
0.6
