11. 对于实数$a$,$b$,定义关于“$\otimes$”的一种运算:$a\otimes b = 2a + b$.例如,$3\otimes4 = 2×3 + 4 = 10$.若$x\otimes(- y) = 2$,$(2y)\otimes x = - 1$,求$x + y$的值.
答案
$\boxed{\dfrac{1}{3}}$
解析
根据题意,运算$a \otimes b = 2a + b$,因此:
1. $x \otimes (-y) = 2x - y = 2$,即$2x - y = 2$;
2. $(2y) \otimes x = 2 · (2y) + x = 4y + x = -1$,即$x + 4y = -1$。
联立方程组:
$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + 4y = -1 \end{cases}$
由第一个方程得$y = 2x - 2$,代入第二个方程:
$x + 4(2x - 2) = -1$,
$x + 8x - 8 = -1$,
$9x = 7$,
$x = \frac{7}{9}$。
将$x = \frac{7}{9}$代入$y = 2x - 2$,得:
$y = 2 · \frac{7}{9} - 2 = \frac{14}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{4}{9}$。
因此,$x + y = \frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
12. 《孙子算经》中有这样一道题:今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?意思是现有若干人和若干辆车,若每辆车乘坐$3$人,则空余两辆车;若每辆车乘坐$2$人,则有$9$人步行.人与车各多少?
答案
车15辆,人39((该题为填空题,直接填写“车15辆,人39”相关形式即可,若按照选择题格式则题目未给出选项无法填写。)
解析
设车有$x$辆,则人数可表示为:当每辆车坐3人时,总人数为$3(x - 2)$人(因为空两车,所以实际使用的车数为$x-2$);
当每车坐2人时,有9人步行,所以总人数为$2x + 9$人。
由于人数是不变的,可以得到方程:
$3(x - 2) = 2x + 9$,
去括号得:
$3x - 6 = 2x + 9$,
移项并合并同类项得:
$x = 15$,
将$x = 15$代入$3(x - 2)$得:
$3× (15 - 2) = 39$,
所以,车有15辆,人有39人。
当每车坐2人时,有9人步行,所以总人数为$2x + 9$人。
由于人数是不变的,可以得到方程:
$3(x - 2) = 2x + 9$,
去括号得:
$3x - 6 = 2x + 9$,
移项并合并同类项得:
$x = 15$,
将$x = 15$代入$3(x - 2)$得:
$3× (15 - 2) = 39$,
所以,车有15辆,人有39人。
阅读材料:善于思考的小军在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3&①,\\4x + 11y = 5&②\end{cases}$时,采用了一种“整体代换”的解法:
解:将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$,即$2(2x + 5y) + y = 5$,③
把方程①代入③,得$2×3 + y = 5$,$\therefore y = - 1$.把$y = - 1$代入①,得$x = 4$.$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = - 1.\end{cases}$
解决问题:模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5&①,\\9x - 4y = 19&②.\end{cases}$
解:将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$,即$2(2x + 5y) + y = 5$,③
把方程①代入③,得$2×3 + y = 5$,$\therefore y = - 1$.把$y = - 1$代入①,得$x = 4$.$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = - 1.\end{cases}$
解决问题:模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5&①,\\9x - 4y = 19&②.\end{cases}$
答案
$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2 \end{cases}$(或书写为盒装形式)
解析
将方程②变形为 $9x - 6y + 2y = 19$,即 $3(3x - 2y) + 2y = 19$,③
把方程①代入③,得 $3 × 5 + 2y = 19$,即 $15 + 2y = 19$,
$\therefore 2y = 4$,$y = 2$。
把 $y = 2$ 代入①,得 $3x - 4 = 5$,$3x = 9$,$x = 3$。
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases}x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$
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