10. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为边$DC$的延长线上一点，且$CE=DC$，连接$AE$，分别交$BC$，$BD$于点$F$，$G$，连接$AC$，交$BD$于点$O$，连接$OF$.求证：$AB=2OF$.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OA=OC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）．
∵E为DC延长线上一点，且CE=DC，
∴CE=CD=AB．
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF（两直线平行，内错角相等）．
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAF=∠CEF \\ ∠ABF=∠ECF \\ AB=CE\end{array} $，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
∴BF=CF（全等三角形对应边相等），即F为BC中点．
∵O为AC中点，F为BC中点，
∴OF是△ABC的中位线（三角形中位线定义）．
∴OF=$\frac{1}{2}$AB（三角形中位线定理）．
∴AB=2OF．

如图，在四边形$ABCD$中，$AB=CD$，连接$AC$，$P$是$AC$的中点，$M$是$AD$的中点，$N$是$BC$的中点，连接$MP$，$MN$，$∠ BAC=80^{\circ}$，$∠ ACD=20^{\circ}$.求：
(1)$∠ PMN$的度数；
(2)$\frac{PM}{MN}$的值.

(1) 50°；(2) 1/(2sin40°)

(1) ∵M是AD中点，P是AC中点，∴MP是△ADC的中位线，∴MP//CD，MP=1/2CD，∠MPA=∠ACD=20°。
∵N是BC中点，P是AC中点，∴PN是△ABC的中位线，∴PN//AB，PN=1/2AB，∠NPC=∠BAC=80°。
∵AB=CD，∴MP=PN。
∵∠MPA+∠MPN+∠NPC=180°，∴∠MPN=180°-20°-80°=80°。
在△MPN中，MP=PN，∠MPN=80°，∴∠PMN=(180°-80°)/2=50°。
(2) 在△MPN中，由正弦定理得PM/sin∠PNM=MN/sin∠MPN，∵∠PMN=∠PNM=50°，∠MPN=80°，∴PM/MN=sin50°/sin80°=sin50°/cos10°，又sin50°=cos40°，cos10°=2sin40°cos40°，∴PM/MN=cos40°/(2sin40°cos40°)=1/(2sin40°)。