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4. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长为(
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
C
)A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
答案
4．C
解析
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×9=4.5，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3。
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC。
又
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DF=BD=3。
∴EF=DE-DF=4.5-3=1.5。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理与等腰三角形的判定，解题关键是利用平行线的性质结合角平分线的定义推出等腰三角形，进而通过线段的和差计算EF的长度。
【难度系数】
0.6
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×9=4.5，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3。
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC。
又
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DF=BD=3。
∴EF=DE-DF=4.5-3=1.5。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理与等腰三角形的判定，解题关键是利用平行线的性质结合角平分线的定义推出等腰三角形，进而通过线段的和差计算EF的长度。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在△ABC中，AC=BC，DE为△ABC的中位线，连接CD. 若∠B=68°，则∠EDC的度数为(
A.20°
B.22°
C.32°
D.34°
B
)A.20°
B.22°
C.32°
D.34°
答案
5．B
解析
【解析】
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠A=∠B=68°。
根据三角形内角和定理，∠ACB=180°-2×68°=44°。
∵DE是△ABC的中位线，
∴D是AB的中点，且DE//BC。
又
∵AC=BC，D是AB中点，根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=½∠ACB=22°。
∵DE//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EDC=∠DCB=22°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题综合运用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和平行线的性质求解角度，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及中位线的平行关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，∠A=∠B=68°。
根据三角形内角和定理，∠ACB=180°-2×68°=44°。
∵DE是△ABC的中位线，
∴D是AB的中点，且DE//BC。
又
∵AC=BC，D是AB中点，根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=½∠ACB=22°。
∵DE//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EDC=∠DCB=22°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题综合运用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和平行线的性质求解角度，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及中位线的平行关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
6. 如图，学校有一块形状为等边三角形的空地ABC. 已知D，E分别是AB，AC的中点，测得DE=5 m，现在后勤部门打算将四边形空地DBCE用篱笆围成一个四边形花园来种花，则需要篱笆的长是
25
m(接头处忽略不计).答案
6．25
解析
【解析】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得BC=2DE=2×5=10(m)。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=10(m)，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=5(m)，CE=$\frac{1}{2}$AC=5(m)。
则需要篱笆的长为DB+BC+CE+DE=5+10+5+5=25(m)。
【答案】
25
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题考查三角形中位线定理与等边三角形性质的综合应用，解题关键是利用中位线定理求出BC的长度，再结合等边三角形边长相等的性质计算各边长度，进而求出篱笆总长。
【难度系数】
0.7
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得BC=2DE=2×5=10(m)。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=10(m)，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=5(m)，CE=$\frac{1}{2}$AC=5(m)。
则需要篱笆的长为DB+BC+CE+DE=5+10+5+5=25(m)。
【答案】
25
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题考查三角形中位线定理与等边三角形性质的综合应用，解题关键是利用中位线定理求出BC的长度，再结合等边三角形边长相等的性质计算各边长度，进而求出篱笆总长。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点D作DH⊥BC于点H，连接EH. 若BC=8，DH=3，求EH的长.
答案
7．解：$EH=5$．
解析
【解析】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$.
∵$DH⊥ BC$，$DE// BC$，
∴$DH⊥ DE$，过点E作$EF⊥ BC$于点F，
则四边形DHFE是矩形，
∴$EF=DH=3$，$HF=DE=4$，$∠ EFH=90°$.
在$Rt△ EFH$中，由勾股定理得：
$EH=\sqrt{EF^2+HF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
【答案】
$\boldsymbol{EH=5}$
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用中位线定理得到DE的长度与位置关系，通过构造矩形将已知条件转化，进而利用勾股定理求解EH的长度。
【难度系数】
0.6
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$.
∵$DH⊥ BC$，$DE// BC$，
∴$DH⊥ DE$，过点E作$EF⊥ BC$于点F，
则四边形DHFE是矩形，
∴$EF=DH=3$，$HF=DE=4$，$∠ EFH=90°$.
在$Rt△ EFH$中，由勾股定理得：
$EH=\sqrt{EF^2+HF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
【答案】
$\boldsymbol{EH=5}$
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用中位线定理得到DE的长度与位置关系，通过构造矩形将已知条件转化，进而利用勾股定理求解EH的长度。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O.
（1）求证：OE=$\frac{1}{2}$EC.
（2）若OD=2，求AB的长.
（1）求证：OE=$\frac{1}{2}$EC.
（2）若OD=2，求AB的长.
答案
8．（1）证明：因为$ED$，$EF$是中位线，
所以$ED// FC$，$EF// DC$，
所以四边形$EFCD$是平行四边形．
因为对角线$CE$和$DF$相交于点$O$，
所以$OE=\frac {1}{2}EC$．
（2）解：$AB=8$．
所以$ED// FC$，$EF// DC$，
所以四边形$EFCD$是平行四边形．
因为对角线$CE$和$DF$相交于点$O$，
所以$OE=\frac {1}{2}EC$．
（2）解：$AB=8$．
解析
【解析】
（1）证明：
因为$ED$，$EF$是$△ ABC$的中位线，
所以$ED// FC$，$EF// DC$，
根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$EFCD$是平行四边形。
因为平行四边形的对角线互相平分，对角线$CE$和$DF$相交于点$O$，
所以$OE=\frac{1}{2}EC$。
（2）解：
因为四边形$EFCD$是平行四边形，所以$DF=2OD$，
已知$OD=2$，则$DF=4$。
又因为$EF$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}AB$，且在平行四边形$EFCD$中$EF=DF=4$，
所以$AB=2EF=8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AB=8}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查三角形中位线定理与平行四边形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为$ED$，$EF$是$△ ABC$的中位线，
所以$ED// FC$，$EF// DC$，
根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形$EFCD$是平行四边形。
因为平行四边形的对角线互相平分，对角线$CE$和$DF$相交于点$O$，
所以$OE=\frac{1}{2}EC$。
（2）解：
因为四边形$EFCD$是平行四边形，所以$DF=2OD$，
已知$OD=2$，则$DF=4$。
又因为$EF$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}AB$，且在平行四边形$EFCD$中$EF=DF=4$，
所以$AB=2EF=8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AB=8}$
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查三角形中位线定理与平行四边形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC，BD交于点O，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交AC，BD于点H，G. 求证：OG=OH.
答案
9．证明：如图，取$BC$边的中点$M$，连接$EM$，$FM$．
因为$M$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，
所以$MF$是$△ BCD$的中位线，
所以$MF// BD$，$MF=\frac {1}{2}BD$．
同理可得$ME// AC$，$ME=\frac {1}{2}AC$．
因为$AC=BD$，
所以$ME=MF$，
所以$∠MEF=∠MFE$．
因为$MF// BD$，
所以$∠MFE=∠OGH$，
同理$∠MEF=∠OHG$，
所以$∠OGH=∠OHG$，
所以$OG=OH$．
解析
【解析】
证明：如图，取$BC$边的中点$M$，连接$EM$，$FM$。
因为$M$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，
所以$MF$是$△ BCD$的中位线，
所以$MF// BD$，$MF=\frac{1}{2}BD$。
同理可得$ME// AC$，$ME=\frac{1}{2}AC$。
因为$AC=BD$，
所以$ME=MF$，
所以$∠ MEF=∠ MFE$。
因为$MF// BD$，
所以$∠ MFE=∠ OGH$，
同理$∠ MEF=∠ OHG$，
所以$∠ OGH=∠ OHG$，
所以$OG=OH$。
【答案】
$OG=OH$得证。
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题通过取$BC$中点构造三角形中位线，将已知的线段相等转化为等腰三角形的两边相等，再利用平行线的性质实现角的转化，最终证明线段相等，考查了对中位线定理和等腰三角形性质的综合运用。
【难度系数】
0.3
证明：如图，取$BC$边的中点$M$，连接$EM$，$FM$。
因为$M$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，
所以$MF$是$△ BCD$的中位线，
所以$MF// BD$，$MF=\frac{1}{2}BD$。
同理可得$ME// AC$，$ME=\frac{1}{2}AC$。
因为$AC=BD$，
所以$ME=MF$，
所以$∠ MEF=∠ MFE$。
因为$MF// BD$，
所以$∠ MFE=∠ OGH$，
同理$∠ MEF=∠ OHG$，
所以$∠ OGH=∠ OHG$，
所以$OG=OH$。
【答案】
$OG=OH$得证。
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题通过取$BC$中点构造三角形中位线，将已知的线段相等转化为等腰三角形的两边相等，再利用平行线的性质实现角的转化，最终证明线段相等，考查了对中位线定理和等腰三角形性质的综合运用。
【难度系数】
0.3
