【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 求证：∠BME=∠CNE.

思路分析
思考：已知E，F分别是AD，BC的中点，可考虑连接BD，并取线段的中点，然后利用三角形定理证明.
证明：
【规律方法】
当已知图形中出现中点时，可考虑利用三角形的中位线定理解决问题. 如果题目中没有出现中位线，需要作辅助线，构造中位线，再运用中位线定理证明某些线段或角的关系.
变式训练
3. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE，CD的中点. 过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ.

4. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点.
(1)如图①，BE的延长线与AC交于点D，求证：EF=$\frac{1}{2}$(AC−AB).
(2)如图②，探究线段AB，AC，EF间的数量关系，写出你的结论.

思路分析
思考：$BD$ 中位线
证明：如图所示，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$，$HF$．

因为$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
所以$HF$，$HE$分别是$△ BCD$，$△ ABD$的中位线，
所以$HF// CN$，$HE// BM$，
$HF=\frac {1}{2}CD$，$HE=\frac {1}{2}AB$．
因为$AB=CD$，
所以$HF=HE$，
所以$∠HEF=∠HFE$．
因为$HF// CN$，$HE// BM$，
所以$∠HEF=∠BME$，$∠HFE=∠CNE$，
所以$∠BME=∠CNE$．
变式训练
3．证明：如图，取$BC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$．

因为$M$，$N$为$BE$，$CD$的中点，$H$为$BC$的中点，所以$MH$，$NH$分别是$△ BCE$，$△ BCD$的中位线，所以$MH// EC$，$MH=\frac {1}{2}EC$，$NH// BD$，$NH=\frac {1}{2}BD$．
又因为$BD=CE$，
所以$MH=NH$，
所以$∠HMN=∠HNM$．
因为$MH// EC$，
所以$∠HMN=∠PQA$．
同理可得$∠HNM=∠QPA$．
所以$∠QPA=∠PQA$，
所以$AP=AQ$．
4．（1）证明：因为$AE$平分$∠BAC$，
所以$∠BAE=∠DAE$．
因为$BE⊥AE$于点$E$，
所以$∠BEA=∠DEA=90^{\circ }$．
在$△ ABE$和$△ ADE$中，
$\begin{cases} ∠BAE=∠DAE\\ AE=AE\\ ∠BEA=∠DEA \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ADE(ASA)$，
所以$BE=DE$，$AB=AD$．
因为点$F$是$BC$的中点，
所以$BF=FC$，
所以$EF$是$△ BCD$的中位线，
所以$EF=\frac {1}{2}DC=\frac {1}{2}(AC - AD)=\frac {1}{2}(AC - AB)$．
（2）解：如图，延长$AC$交$BE$的延长线于点$P$．

因为$AE⊥BP$，
所以$∠AEP=∠AEB=90^{\circ }$．
所以$∠BAE+∠ABE=90^{\circ }$，$∠PAE+∠APE=90^{\circ }$．
因为$∠BAE=∠PAE$，
所以$∠ABE=∠APE$，
所以$AB=AP$．
因为$AE⊥BP$，
所以$E$为$BP$的中点，
所以$BE=PE$．
因为点$F$为$BC$的中点，
所以$EF$是$△ BCP$的中位线，
所以$EF=\frac {1}{2}PC=\frac {1}{2}(AP - AC)=\frac {1}{2}(AB - AC)$，
即$EF=\frac {1}{2}(AB - AC)$．

【解析】
例2解析
思路分析：已知E，F分别是AD，BC的中点，可考虑连接BD，并取线段$BD$的中点，然后利用三角形中位线定理证明。
证明：连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$，$HF$。
因为$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
所以$HF$，$HE$分别是$△ BCD$，$△ ABD$的中位线，
所以$HF// CN$，$HE// BM$，$HF=\frac{1}{2}CD$，$HE=\frac{1}{2}AB$。
因为$AB=CD$，所以$HF=HE$，故$∠ HEF=∠ HFE$。
又因为$HF// CN$，$HE// BM$，所以$∠ HEF=∠ BME$，$∠ HFE=∠ CNE$，因此$∠ BME=∠ CNE$。
变式训练3解析
证明：取$BC$的中点$H$，连接$MH$，$NH$。
因为$M$，$N$为$BE$，$CD$的中点，$H$为$BC$的中点，所以$MH$，$NH$分别是$△ BCE$，$△ BCD$的中位线，
所以$MH// EC$，$MH=\frac{1}{2}EC$，$NH// BD$，$NH=\frac{1}{2}BD$。
又因为$BD=CE$，所以$MH=NH$，故$∠ HMN=∠ HNM$。
因为$MH// EC$，所以$∠ HMN=∠ PQA$；同理$∠ HNM=∠ QPA$，
所以$∠ QPA=∠ PQA$，因此$AP=AQ$。
变式训练4解析
(1)证明：因为$AE$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAE=∠ DAE$。
因为$BE⊥ AE$，所以$∠ BEA=∠ DEA=90°$。
在$△ ABE$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ DAE \\AE=AE \\∠ BEA=∠ DEA\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ADE(ASA)$，故$BE=DE$，$AB=AD$。
因为点$F$是$BC$的中点，所以$EF$是$△ BCD$的中位线，
因此$EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}(AC - AD)=\frac{1}{2}(AC - AB)$。
(2)证明：延长$AC$交$BE$的延长线于点$P$。
因为$AE⊥ BP$，所以$∠ AEP=∠ AEB=90°$，
则$∠ BAE+∠ ABE=90°$，$∠ PAE+∠ APE=90°$。
因为$∠ BAE=∠ PAE$，所以$∠ ABE=∠ APE$，故$AB=AP$。
因为$AE⊥ BP$，所以$E$为$BP$的中点，即$BE=PE$。
又因为点$F$为$BC$的中点，所以$EF$是$△ BCP$的中位线，
因此$EF=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}(AP - AC)=\frac{1}{2}(AB - AC)$。
【答案】
例2答案
$\boldsymbol{∠ BME=∠ CNE}$，证明过程见上述解析。
变式训练3答案
$\boldsymbol{AP=AQ}$，证明过程见上述解析。
变式训练4答案
(1) $\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}(AC - AB)}$，证明过程见上述解析；
(2) $\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}(AB - AC)}$。
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
当题目中出现中点、线段相等条件时，常通过构造三角形中位线，结合中位线定理、全等三角形、等腰三角形的相关性质来证明角相等或线段相等。解题的关键是掌握辅助线的添加技巧，灵活运用中位线定理转化线段与角的关系。
【难度系数】
0.4