登录
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一点旋转180°后能与自身重合的图形。选项A是轴对称图形但不是中心对称图形；选项B既不是轴对称图形也不是中心对称图形；选项C既是轴对称图形（有两条对称轴）又是中心对称图形（对称中心为两条对角线交点）；选项D是轴对称图形但不是中心对称图形。
2. 将点 $ P(2m + 3,m - 2) $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度得到点 $ P' $，且点 $ P' $ 在 $ x $ 轴上，那么点 $ P $ 的坐标是()
A.$ (3,-2) $
B.$ (3,0) $
C.$ (7,0) $
D.$ (9,1) $
A.$ (3,-2) $
B.$ (3,0) $
C.$ (7,0) $
D.$ (9,1) $
答案
A
解析
将点$P(2m + 3,m - 2)$向上平移$2$个单位长度得到点$P'$，则$P'$的坐标为$(2m + 3,m - 2 + 2)=(2m + 3,m)$。
因为点$P'$在$x$轴上，所以点$P'$的纵坐标为$0$，即$m = 0$。
把$m = 0$代入$P$点横坐标$2m + 3$中，可得$2×0+3 = 3$，横坐标为$3$；$P$点纵坐标$m - 2=0 - 2=-2$。
所以点$P$的坐标是$(3,-2)$。
因为点$P'$在$x$轴上，所以点$P'$的纵坐标为$0$，即$m = 0$。
把$m = 0$代入$P$点横坐标$2m + 3$中，可得$2×0+3 = 3$，横坐标为$3$；$P$点纵坐标$m - 2=0 - 2=-2$。
所以点$P$的坐标是$(3,-2)$。
3. 如图，直线 $ y = kx $ 与 $ y = ax + b $ 交于点 $ P(-4,-2) $，则不等式 $ kx ＜ ax + b $ 的解集是()
A.$ x ＜ -2 $
B.$ x ＞ -2 $
C.$ x ＜ -4 $
D.$ x ＞ -4 $
A.$ x ＜ -2 $
B.$ x ＞ -2 $
C.$ x ＜ -4 $
D.$ x ＞ -4 $
答案
C
解析
因为直线 $ y = kx $ 与 $ y = ax + b $ 交于点 $ P(-4,-2) $，观察图像可知，当 $ x ＜ -4 $ 时，直线 $ y = kx $ 在直线 $ y = ax + b $ 的下方，即 $ kx ＜ ax + b $。
4. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 80^{\circ} $，$ ∠ C = 65^{\circ} $，将 $ △ ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转得到 $ △ AB'C' $。当 $ AB' $ 落在 $ AC $ 上时，$ ∠ BAC' $ 的度数为()
A.$ 65^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 80^{\circ} $
D.$ 85^{\circ} $
A.$ 65^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 80^{\circ} $
D.$ 85^{\circ} $
答案
B
解析
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-65°=35°。
∵△AB'C'是△ABC绕点A逆时针旋转得到的，
∴∠B'AC'=∠BAC=35°，AB'=AB。
当AB'落在AC上时，∠B'AC=0°，
∴∠BAC'=∠B'AC'+∠B'AC=35°+0°=35°？（此处错误，重新分析）
纠正：当AB'落在AC上时，∠BAB'=∠BAC=35°（旋转角），
∵∠B'AC'=∠BAC=35°，
∴∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'=35°+35°=70°。
∵△AB'C'是△ABC绕点A逆时针旋转得到的，
∴∠B'AC'=∠BAC=35°，AB'=AB。
当AB'落在AC上时，∠B'AC=0°，
∴∠BAC'=∠B'AC'+∠B'AC=35°+0°=35°？（此处错误，重新分析）
纠正：当AB'落在AC上时，∠BAB'=∠BAC=35°（旋转角），
∵∠B'AC'=∠BAC=35°，
∴∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'=35°+35°=70°。
5. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}3x ＞ 2x + 1 \\ 2 - x ＞ a\end{cases}$ 有 $ 4 $ 个整数解，则 $ a $ 的取值范围是( )
A.$ -4 ≤ a ＜ -3 $
B.$ -3 ≤ a ＜ -2 $
C.$ -2 ≤ a ＜ -1 $
D.$ -1 ≤ a ＜ 0 $
A.$ -4 ≤ a ＜ -3 $
B.$ -3 ≤ a ＜ -2 $
C.$ -2 ≤ a ＜ -1 $
D.$ -1 ≤ a ＜ 0 $
答案
A
解析
解不等式组$\begin{cases}3x ＞ 2x + 1 \\ 2 - x ＞ a\end{cases}$，
解$3x ＞ 2x + 1$得$x ＞ 1$；
解$2 - x ＞ a$得$x ＜ 2 - a$；
故不等式组解集为$1 ＜ x ＜ 2 - a$。
因不等式组有4个整数解，整数解为2，3，4，5，
则$5 ＜ 2 - a ≤ 6$，
解得$-4 ≤ a ＜ -3$。
解$3x ＞ 2x + 1$得$x ＞ 1$；
解$2 - x ＞ a$得$x ＜ 2 - a$；
故不等式组解集为$1 ＜ x ＜ 2 - a$。
因不等式组有4个整数解，整数解为2，3，4，5，
则$5 ＜ 2 - a ≤ 6$，
解得$-4 ≤ a ＜ -3$。
6. 提升题 如图，在锐角三角形 $ ABC $ 中，延长 $ BC $ 到点 $ D $，$ O $ 是 $ AC $ 边上的一个动点，过点 $ O $ 作直线 $ MN // BC $，$ MN $ 分别交 $ ∠ ACB $，$ ∠ ACD $ 的平分线于 $ E $，$ F $ 两点，连接 $ AE $，$ AF $。下列结论：① $ OE = OF $；② $ CE = CF $；③若 $ CE = 12 $，$ CF = 5 $，则 $ OC $ 的长为 $ 6 $；④ $ ∠ ECF = 90^{\circ} $。其中正确的有()
A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
A.$ 4 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 1 $ 个
答案
C
解析
∵MN//BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠OEC=∠BCE=∠OCE，∠OFC=∠DCF=∠OCF（内错角相等，角平分线定义），
∴OE=OC，OF=OC（等角对等边），故OE=OF，①正确；
∠ACB+∠ACD=180°，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1/2(∠ACB+∠ACD)=90°，④正确；
CE与CF为直角三角形ECF的两直角边，长度不一定相等，②错误；
若CE=12，CF=5，由勾股定理得EF=13，又EF=OE+OF=2OC，∴OC=6.5，③错误。
综上，正确的有①④，共2个。
二、填空题
7. 在数学实践活动课中，小华剪了一个直角三角形纸片，经测量有一个锐角等于 $ 32^{\circ} $，则另一个锐角等于。
7. 在数学实践活动课中，小华剪了一个直角三角形纸片，经测量有一个锐角等于 $ 32^{\circ} $，则另一个锐角等于。
答案
因为直角三角形的两个锐角互余，已知一个锐角为$32^{\circ}$，所以另一个锐角为$90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$。
$58^{\circ}$
$58^{\circ}$
8. 某汽车经销商开始经销新能源汽车后，每月销售的汽车比原来每月销售的汽车多 $ 6 $ 辆，现在 $ 15 $ 个月的销量就超过了原来 $ 20 $ 个月的销量。若设原来每月销售汽车 $ x $ 辆，则可列出的不等式为。
答案
$15(x + 6) ＞ 20x$
解析
原来每月销售汽车$x$辆，现在每月销售$x + 6$辆。原来$20$个月的销量为$20x$辆，现在$15$个月的销量为$15(x + 6)$辆。因为现在$15$个月的销量超过原来$20$个月的销量，所以可列不等式$15(x + 6) ＞ 20x$。
