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9. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 13 $，$ D $ 为 $ △ ABC $ 内部一点，$ E $ 为 $ AC $ 上一点，且 $ ∠ DBC = ∠ BDE = 60^{\circ} $。若 $ BD = 8 $，$ DE = 2 $，则 $ AC $ 的长为。
答案
12
解析
以C为原点，BC为x轴，AC为y轴建立坐标系，设C(0,0)，B(a,0)，A(0,b)，则a² + b² = 13²=169。过D作DF⊥BC于F，由∠DBC=60°，BD=8，得BF=4，DF=4√3，故D(a-4,4√3)。设E(0,e)，DE=2，得(a-4)² + (4√3 - e)²=4。向量DB=(4,-4√3)，向量DE=(4 - a,e - 4√3)，由∠BDE=60°，得DB·DE=8，即64 - 4a - 4√3 e=8，化简得a + √3 e=14，e=(14 - a)/√3。代入DE距离方程，解得a=5（a=2舍去），则b=12，即AC=12。
10. 在平面直角坐标系中，对于点 $ P(x,y) $，我们把点 $ P'(-y + 1,x + 1) $ 叫作点 $ P $ 的伴随点。已知点 $ A_1 $ 的伴随点为 $ A_2 $，点 $ A_2 $ 的伴随点为 $ A_3 $，点 $ A_3 $ 的伴随点为 $ A_4 ··· ··· $ 这样依次得到点 $ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ ··· $，$ A_n $。若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (3,1) $，则点 $ A_{2025} $ 的坐标为；若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (a,b) $，对于任意的正整数 $ n $，点 $ A_n $ 均在 $ x $ 轴上方，则 $ a $，$ b $ 应满足的条件为。
答案
(3,1)；-1 ＜ a ＜ 1且0 ＜ b ＜ 2
解析
第一部分：已知$A_1(3,1)$，根据伴随点定义：
$A_2(-1+1,3+1)=(0,4)$；$A_3(-4+1,0+1)=(-3,1)$；$A_4(-1+1,-3+1)=(0,-2)$；$A_5(-(-2)+1,0+1)=(3,1)$，周期为4。$2025÷4=506······1$，故$A_{2025}=A_1=(3,1)$。
第二部分：$A_1(a,b)$，则$A_2(-b+1,a+1)$，$A_3(-a,-b+2)$，$A_4(b-1,-a+1)$，周期为4。所有点在x轴上方，需纵坐标均大于0：
$b＞0$，$a+1＞0$，$-b+2＞0$，$-a+1＞0$，解得$-1＜a＜1$且$0＜b＜2$。
$A_2(-1+1,3+1)=(0,4)$；$A_3(-4+1,0+1)=(-3,1)$；$A_4(-1+1,-3+1)=(0,-2)$；$A_5(-(-2)+1,0+1)=(3,1)$，周期为4。$2025÷4=506······1$，故$A_{2025}=A_1=(3,1)$。
第二部分：$A_1(a,b)$，则$A_2(-b+1,a+1)$，$A_3(-a,-b+2)$，$A_4(b-1,-a+1)$，周期为4。所有点在x轴上方，需纵坐标均大于0：
$b＞0$，$a+1＞0$，$-b+2＞0$，$-a+1＞0$，解得$-1＜a＜1$且$0＜b＜2$。
11. 如图，已知 $ ∠ BAC = 60^{\circ} $，$ AB = 4 $，$ AC = 6 $，点 $ P $ 在 $ △ ABC $ 内。将 $ △ APC $ 绕着点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ △ AEF $，则 $ AE + PB + PC $ 的最小值为。
答案
2√19
解析
将△APC绕点A逆时针旋转60°得△AEF，由旋转性质知AE=AP，PC=EF，∠PAE=60°，故△APE为等边三角形，AP=PE。则AE+PB+PC=AP+PB+PC=PE+PB+EF。要使PE+PB+EF最小，需B、P、E、F四点共线，此时最小值为BF的长。
∵旋转角为60°，AC=AF=6，∠CAF=60°，∠BAC=60°，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°。
在△ABF中，AB=4，AF=6，∠BAF=120°，由余弦定理得：
BF²=AB²+AF²-2·AB·AF·cos120°=4²+6²-2×4×6×(-1/2)=16+36+24=76，故BF=√76=2√19。
∵旋转角为60°，AC=AF=6，∠CAF=60°，∠BAC=60°，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°。
在△ABF中，AB=4，AF=6，∠BAF=120°，由余弦定理得：
BF²=AB²+AF²-2·AB·AF·cos120°=4²+6²-2×4×6×(-1/2)=16+36+24=76，故BF=√76=2√19。
12. 提升题 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ BC = CD $，$ ∠ ADB = ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ ∠ CAB = ∠ CBD = 20^{\circ} $，$ P $ 为 $ AB $ 上一动点，在运动过程中，$ DP $ 与 $ AC $ 相交于点 $ M $。当 $ △ CDM $ 为等腰三角形时，$ ∠ PDC $ 的度数为。
答案
50°或65°或80°
解析
在四边形ABCD中，由∠ACB=90°，∠CAB=20°，得∠ABC=70°。因∠CBD=20°，故∠ABD=50°。在Rt△ADB中，∠ADB=90°，则∠DAB=40°，∠CAD=20°。由BC=CD，∠CBD=20°，得△BCD为等腰三角形，∠CDB=20°，∠BCD=140°，从而∠ACD=∠BCD - ∠ACB=50°。
△CDM为等腰三角形分三种情况：
1. DM=CD：∠DCM=∠CMD=50°，∠CDM=180°-50°-50°=80°；
2. CM=DM：∠DCM=∠CDM=50°；
3. CM=CD：∠CDM=∠CMD=(180°-50°)/2=65°。
经检验，三种情况均成立，∠PDC=∠CDM。
△CDM为等腰三角形分三种情况：
1. DM=CD：∠DCM=∠CMD=50°，∠CDM=180°-50°-50°=80°；
2. CM=DM：∠DCM=∠CDM=50°；
3. CM=CD：∠CDM=∠CMD=(180°-50°)/2=65°。
经检验，三种情况均成立，∠PDC=∠CDM。
三、解答题
13. 解不等式(组)：
(1) $ \frac{2(x - 1)}{4} ＞ 0 $；
(2) $ \begin{cases} 3(x - 1) ＞ 2(x - 2) \\ \frac{x - 1}{3} ≤ \frac{1}{2} \end{cases} $。
13. 解不等式(组)：
(1) $ \frac{2(x - 1)}{4} ＞ 0 $；
(2) $ \begin{cases} 3(x - 1) ＞ 2(x - 2) \\ \frac{x - 1}{3} ≤ \frac{1}{2} \end{cases} $。
答案
(1) 解：$\frac{2(x - 1)}{4} ＞ 0$
两边同乘4：$2(x - 1) ＞ 0$
两边同除以2：$x - 1 ＞ 0$
解得：$x ＞ 1$
(2) 解：$\begin{cases} 3(x - 1) ＞ 2(x - 2) ① \\ \frac{x - 1}{3} ≤ \frac{1}{2} ② \end{cases}$
解①：$3x - 3 ＞ 2x - 4$
$3x - 2x ＞ -4 + 3$
$x ＞ -1$
解②：两边同乘6：$2(x - 1) ≤ 3$
$2x - 2 ≤ 3$
$2x ≤ 5$
$x ≤ \frac{5}{2}$
综上：$-1 ＜ x ≤ \frac{5}{2}$
两边同乘4：$2(x - 1) ＞ 0$
两边同除以2：$x - 1 ＞ 0$
解得：$x ＞ 1$
(2) 解：$\begin{cases} 3(x - 1) ＞ 2(x - 2) ① \\ \frac{x - 1}{3} ≤ \frac{1}{2} ② \end{cases}$
解①：$3x - 3 ＞ 2x - 4$
$3x - 2x ＞ -4 + 3$
$x ＞ -1$
解②：两边同乘6：$2(x - 1) ≤ 3$
$2x - 2 ≤ 3$
$2x ≤ 5$
$x ≤ \frac{5}{2}$
综上：$-1 ＜ x ≤ \frac{5}{2}$
14. 如图，在边长为 $ 1 $ 的正方形网格中，$ △ ABC $ 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,1) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (-1,1) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (-1,3) $。
(1) 画出 $ △ ABC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后得到的 $ △ A_1BC_1 $；
(2) 画出 $ △ ABC $ 关于原点 $ O $ 对称的 $ △ A_2B_2C_2 $。
(1) 画出 $ △ ABC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后得到的 $ △ A_1BC_1 $；
(2) 画出 $ △ ABC $ 关于原点 $ O $ 对称的 $ △ A_2B_2C_2 $。
答案
(1) 旋转后各顶点坐标：点B旋转后为B₁(-1,1)，点A绕点B逆时针旋转90°后坐标为A₁(-1,-2)，点C绕点B逆时针旋转90°后坐标为C₁(-3,1)。连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁BC₁。
(2) 关于原点对称后各顶点坐标：A₂(4,-1)，B₂(1,-1)，C₂(1,-3)。连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，得到△A₂B₂C₂。
