7. 如图 7，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 150° $，$ AC = 4 $，$ \tan B = \dfrac{1}{8} $.
(1) 求 $ BC $ 的长；
(2) 利用此图形求 $ \tan 15° $ 的值（结果精确到 $ 0.1 $）.（参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.41 $，$ \sqrt{3} \approx 1.73 $，$ \sqrt{5} \approx 2.24 $）

解：
(1) 过点$A$作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$。
$\because ∠ ACB = 150°$，
$\therefore ∠ ACD = 180° - 150° = 30°$。
在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，$AC = 4$，
$AD = AC · \sin30° = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
$CD = AC · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{1}{8}$，
$\therefore BD = \frac{AD}{\tan B} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 16$。
$\therefore BC = BD - CD = 16 - 2\sqrt{3} \approx 16 - 2 × 1.73 = 12.5$。
(2) 在$BC$的延长线上取点$E$，使$CE = AC = 4$，连接$AE$。
$\because AC = CE$，
$\therefore ∠ E = ∠ CAE$。
$\because ∠ ACD = ∠ E + ∠ CAE = 30°$，
$\therefore ∠ E = 15°$。
在$\mathrm{Rt} △ ADE$中，$DE = CD + CE = 2\sqrt{3} + 4$，$AD = 2$，
$\therefore \tan15° = \tan E = \frac{AD}{DE} = \frac{2}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.73 = 0.3$。

一、选择题
1. 如果$∠α$是等边三角形的一个内角，那么$\cos α$的值等于()
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1$

解：
∵∠α是等边三角形的一个内角，
∴∠α=60°，
∴cosα=cos60°=$\dfrac{1}{2}$，
故选A。

2. 在$△ ABC$中，$∠A$，$∠B$都是锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$三个角的大小关系是()

A.$∠C＞∠A＞∠B$
B.$∠B＞∠C＞∠A$
C.$∠A＞∠B＞∠C$
D.$∠C＞∠B＞∠A$

D

1. 已知∠A是锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值可得$∠ A=30°$；
2. 已知∠B是锐角，且$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，根据特殊角的三角函数值可得$∠ B=45°$；
3. 根据三角形内角和为$180°$，计算$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-45°=105°$；
4. 比较三个角的大小：$105°＞45°＞30°$，即$∠ C＞∠ B＞∠ A$。

3. 下列不等式中，正确的是()

A.$\sin 36°＜\cos 56°$
B.$\sin 36°＞\cos 56°$
C.$\tan 53°＜\tan 36°$
D.$\sin 53°＞\tan 43°$

B

1. 利用互余角三角函数关系：$\cos56°=\sin(90°-56°)=\sin34°$，正弦函数在$0°＜α＜90°$时随角度增大而增大，因$36°＞34°$，故$\sin36°＞\cos56°$，A错误，B正确；
2. 正切函数在$0°＜α＜90°$时随角度增大而增大，$53°＞36°$，则$\tan53°＞\tan36°$，C错误；
3. 由近似值可知：$\sin53°≈0.8$，$\tan43°≈0.93$，故$\sin53°＜\tan43°$，D错误。

4. 如果$∠α$是锐角，且$\sin α=0.75$，则()

A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$

C

先明确特殊锐角的正弦值：$\sin30°=0.5$，$\sin45°≈0.707$，$\sin60°≈0.866$。已知$\sinα=0.75$，可得$\sin45°＜\sinα＜\sin60°$。因为锐角的正弦值随角度增大而增大，所以$45°＜α＜60°$。

5. 已知：$∠α$，$∠β$都是锐角，且满足关系式$\left|\sin α-\dfrac{1}{2}\right|+|\tan β - 1|=0$，则下列式子中，正确的是()

A.$α+β=75°$
B.$α+β=60°$
C.$α+β=105°$
D.$α+β=90°$

A

根据绝对值的非负性，可知$\left|\sin α-\dfrac{1}{2}\right| ≥ 0$，$|\tan β - 1| ≥ 0$，又因为$\left|\sin α-\dfrac{1}{2}\right|+|\tan β - 1|=0$，所以$\sin α-\dfrac{1}{2}=0$，$\tan β - 1=0$，即$\sin α=\dfrac{1}{2}$，$\tan β=1$。
因为$∠α$，$∠β$都是锐角，所以$α=30°$，$β=45°$，则$α+β=30°+45°=75°$。