3. 如图,已知$AM// BN$,$∠A=50^{\circ }$,P 是射线 AM 上的一动点(与点 A 不重合),BC,BD 分别平分$∠ABP$和$∠PBN$,交射线 AM 于点 C,D。
(1)当$∠ABP=60^{\circ }$时,求$∠APB$和$∠ADB$的度数。
(2)当点 P 运动时,$∠APB$与$∠ADB$的比值是否发生变化？若不变,请求出这个值;若变化,请找出变化规律。

3. 解:(1)因为$∠ A=50^{\circ},∠ ABP=60^{\circ}$,
$∠ A+∠ ABP+∠ APB=180^{\circ}$,
所以$∠ APB=70^{\circ}$。
因为$AM// BN$,
所以$∠ PBN=∠ APB=70^{\circ}$,
$∠ ADB=∠ DBN$。
因为$BD$平分$∠ PBN$,
所以$∠ DBN=\frac{1}{2}∠ PBN=35^{\circ}$,
所以$∠ ADB=∠ DBN=35^{\circ}$。
(2)不变。
因为$AM// BN$,
所以$∠ APB=∠ PBN,∠ ADB=∠ DBN$。
因为$BD$平分$∠ PBN$,所以$∠ PBN=2∠ DBN$,
所以$∠ APB=2∠ ADB$,
所以$∠ APB:∠ ADB=2:1$。

4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8$,P 是 BC 上任意一点,$PD⊥AB$于点 D,$PE⊥AC$于点 E。若$△ ABC$的面积为 14,问:$PD+PE$的值是否确定？若能确定,求出这个值;若不能确定,请说明理由。

4. 解:$PD+PE$的值能确定,且$PD+PE=\frac{7}{2}$。理由如下:
如图,连接$AP$,则$S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ APC}$。
因为$S_{△ ABC}=14,S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· PD$,
$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC· PE$,
所以$\frac{1}{2}AB· PD+\frac{1}{2}AC· PE=14$,
即$\frac{1}{2}×8PD+\frac{1}{2}×8PE=14$,
所以$4(PD+PE)=14$,
所以$PD+PE=\frac{7}{2}$。

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ABC$和$∠ACB$的平分线相交于点 O。
(1)当$∠A=90^{\circ }$时,求$∠COB$的度数；
(2)当$∠A=50^{\circ }$时,求$∠COB$的度数；
(3)试猜想当$∠A=n^{\circ }$时,$∠COB$的度数；
(4)请利用(3)中得到的结论解答以下问题:当$∠A$为多少度时,$∠COB=3∠A$？

5. 解:(1)在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A=90^{\circ}$。
由题意,得$∠ ACO=∠ BCO,∠ CBO=∠ ABO$,
所以$∠ BCO+∠ CBO=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ABC)=45^{\circ}$,
所以$∠ COB=180^{\circ}-(∠ BCO+∠ CBO)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
(2)用与解(1)同样的方法,可得$∠ COB=115^{\circ}$。
(3)在$△ ABC$中,$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A=180^{\circ}-n^{\circ}$。
因为$∠ ACO=∠ BCO,∠ CBO=∠ ABO$,
所以$∠ BCO+∠ CBO=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ABC)=90^{\circ}-\frac{1}{2}n^{\circ}$,
所以$∠ COB=180^{\circ}-(∠ BCO+∠ CBO)=90^{\circ}+\frac{1}{2}n^{\circ}$。
(4)因为$∠ COB=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A,∠ COB=3∠ A$,
所以$90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A=3∠ A$,解得$∠ A=36^{\circ}$。
即当$∠ A=36^{\circ}$时,$∠ COB=3∠ A$。