1. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。
(1) 对角线 $BD$ 把矩形 $ABCD$ 分成的两个三角形为 $△ ABD$ 与 $△ BCD$，它们的形状均是(填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”)，它们(填“是”或“不是”)全等三角形关系。
(2) 对角线 $AC$ 与 $BD$ 把矩形 $ABCD$ 分成个等腰三角形。

1.（1）直角三角形；是（2）4

(1) 直角三角形；是
(2) 4

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$。已知 $AB = 3cm$，$AC = 5cm$，则 $BC=$ $cm$，$△ BOC$ 的周长为 $cm$。

2. 4；9

解：在矩形$ABCD$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = 3\space cm$，$AC = 5\space cm$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4\space cm$。
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以$AC = BD = 5\space cm$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，则$OB = OC=\frac{5}{2}\space cm$。
$△ BOC$的周长为$OB + OC + BC=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4=5 + 4=9\space cm$。
4；9

3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。若 $∠ AOD = 120^{\circ}$，则 $∠ ACB$ 的度数是，$AB:BD=$。

3. 30°；1：2

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AC = BD$，$OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$∠ ABC = 90°$，
∴ $OA = OB = OC = OD$。
∵ $∠ AOD = 120°$，
∴ $∠ BOC = ∠ AOD = 120°$。
在 $△ BOC$ 中，$OB = OC$，
∴ $∠ OCB = \frac{180° - ∠ BOC}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，即 $∠ ACB = 30°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB = 30°$，
∴ $AB = \frac{1}{2}AC$。
∵ $AC = BD$，
∴ $AB = \frac{1}{2}BD$，即 $AB:BD = 1:2$。
30°；1:2

4. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 为 $AD$ 的中点，连结 $OE$。若 $OE = 3$，$AD = 8$，求 $BD$ 的长。

4. 因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OD。因为E为AD的中点，所以AE=$\frac{1}{2}$AD=4，OE⊥AD。又OE=3，可得OA=5。所以BD=AC=2OA=2×5=10。

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ 对角线 $AC = BD$，且 $OA = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，
∴ $OA = OD$。
∵ $E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × 8 = 4$，且 $OE ⊥ AD$（等腰三角形三线合一）。
在 $Rt△ AOE$ 中，$OE = 3$，$AE = 4$，
由勾股定理得：$OA = \sqrt{AE^2 + OE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ $AC = 2OA = 2 × 5 = 10$，
∴ $BD = AC = 10$。
答：$BD$ 的长为 $10$。