登录
5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$AB$ 上的点，且 $AE = CD$，$EF = EC$。
(1) 求证：$AF = DE$。
(2) 求 $∠ CEF$ 的度数。
(1) 求证：$AF = DE$。
(2) 求 $∠ CEF$ 的度数。
答案
5.（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°。因为AE=CD，EF=CE，所以△AEF≌△DCE(HL)，所以AF=DE。
（2）由△AEF≌△DCE，得∠AEF=∠DCE。因为∠DEC+∠DCE=90°，所以∠DEC+∠AEF=90°，所以∠CEF=180°−(∠DEC+∠AEF)=90°。
（2）由△AEF≌△DCE，得∠AEF=∠DCE。因为∠DEC+∠DCE=90°，所以∠DEC+∠AEF=90°，所以∠CEF=180°−(∠DEC+∠AEF)=90°。
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$D$ 为 $AB$ 的中点，连结 $CD$，$CE⊥ AB$ 于点 $E$。若 $CD = 5$，$CE = 4.8$，求 $△ ABC$ 的面积。
答案
6. 由∠ACB=90°，D为AB的中点，可得AB=2CD=10。所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AB·CE=24。
解析
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，D为AB的中点，
根据直角三角形斜边中线定理，得$AB=2CD$。
因为$CD=5$，所以$AB=2×5=10$。
又因为$CE⊥AB$，$CE=4.8$，
所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×10×4.8=24$。
答：$△ABC$的面积为24。
根据直角三角形斜边中线定理，得$AB=2CD$。
因为$CD=5$，所以$AB=2×5=10$。
又因为$CE⊥AB$，$CE=4.8$，
所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×10×4.8=24$。
答：$△ABC$的面积为24。
7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 4$。点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，$DE// BC$，过 $D$ 作 $DG⊥ BC$ 于点 $G$，过 $E$ 作 $EF⊥ BC$ 于点 $F$。
(1) 若 $BG = 1$，求 $DE$ 的长。
(2) $GD + DE + EF$ 的长是定值吗？请说明理由。
(1) 若 $BG = 1$，求 $DE$ 的长。
(2) $GD + DE + EF$ 的长是定值吗？请说明理由。
答案
7.（1）因为∠BAC=90°，AB=AC=4，所以∠B=∠C=45°，BC=4$\sqrt{2}$。因为DG⊥BC，EF⊥BC，所以DG//EF。又因为DE//BC，从而可证四边形DEFG是矩形。所以DE=FG，CF=EF=DG=BG=1，所以DE=FG=4$\sqrt{2}$−2。
（2）GD+DE+EF的长为定值，其值为4$\sqrt{2}$。理由如下：由（1），得DE=FG，DG=BG，EF=CF，所以GD+DE+EF=BC=4$\sqrt{2}$。
（2）GD+DE+EF的长为定值，其值为4$\sqrt{2}$。理由如下：由（1），得DE=FG，DG=BG，EF=CF，所以GD+DE+EF=BC=4$\sqrt{2}$。
