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【对点训练】
2. 三角形按边长关系，可分为()
A. 等腰三角形，等边三角形
B. 直角三角形，不等边三角形
C. 等腰三角形，不等边三角形
D. 直角三角形，等腰三角形
2. 三角形按边长关系，可分为()
A. 等腰三角形，等边三角形
B. 直角三角形，不等边三角形
C. 等腰三角形，不等边三角形
D. 直角三角形，等腰三角形
答案
C
解析
三角形按边长关系分类，可分为三边都不相等的不等边三角形和至少有两边相等的等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。选项A中等边三角形属于等腰三角形，不能并列；选项B中直角三角形是按角分类；选项D同样包含按角分类的直角三角形。所以正确分类是等腰三角形和不等边三角形。
重难点3 三角形中的重要线段
【典例3】如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（C）
A. BE是△ABD的中线
B. BD是△BCE的角平分线
C. ∠1=∠2=∠3
D. BC是△BDE的高
解析：A. 由图，可知BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；B. 由图，可知BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；C. ∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3=∠2，无法得知∠1与∠2，∠3的关系，说法不正确，符合题意.D. ∵∠C=90°，∴BC是△BDE的边DE上的高，正确，不符合题意；故选C.
【典例3】如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（C）
A. BE是△ABD的中线
B. BD是△BCE的角平分线
C. ∠1=∠2=∠3
D. BC是△BDE的高
解析：A. 由图，可知BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；B. 由图，可知BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；C. ∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3=∠2，无法得知∠1与∠2，∠3的关系，说法不正确，符合题意.D. ∵∠C=90°，∴BC是△BDE的边DE上的高，正确，不符合题意；故选C.
答案
C
解析
A. 由图可知，BE是△ABD的中线，因为AE = DE，所以BE是AD的中线，正确，不符合题意。
B. 由图可知，BD平分∠EBC，所以BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意。
C. 由于BD平分∠EBC，所以∠3 = ∠2，但无法得知∠1与∠2，∠3的关系，因此说法不正确，符合题意。
D. ∠C = 90°，所以BC垂直于DE，即BC是△BDE的高，正确，不符合题意。
因此，选择C。
B. 由图可知，BD平分∠EBC，所以BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意。
C. 由于BD平分∠EBC，所以∠3 = ∠2，但无法得知∠1与∠2，∠3的关系，因此说法不正确，符合题意。
D. ∠C = 90°，所以BC垂直于DE，即BC是△BDE的高，正确，不符合题意。
因此，选择C。
【对点训练】
3. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是()
A. BF=CF
B. ∠C+∠CAD=90°
C. ∠BAF=∠CAF
$D. S_{△ABC}=2S_{△ABF}$
3. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是()
A. BF=CF
B. ∠C+∠CAD=90°
C. ∠BAF=∠CAF
$D. S_{△ABC}=2S_{△ABF}$
答案
C
解析
根据题意，AD是高，AE是角平分线，AF是中线。
A. 由于F是BC的中点，所以BF=CF，因此选项A是正确的。
B. 在△ADC中，AD是高，所以∠ADC=90°，因此∠C+∠CAD=90°，所以选项B是正确的。
C. AE是角平分线，所以∠BAE=∠CAE，但并不能得出∠BAF=∠CAF，因此选项C是错误的。
D. 由于AF是中线，所以△ABF的面积是△ABC面积的一半，即$S_{△ABC}=2S_{△ABF}$，因此选项D是正确的。
所以错误的说法是C。
A. 由于F是BC的中点，所以BF=CF，因此选项A是正确的。
B. 在△ADC中，AD是高，所以∠ADC=90°，因此∠C+∠CAD=90°，所以选项B是正确的。
C. AE是角平分线，所以∠BAE=∠CAE，但并不能得出∠BAF=∠CAF，因此选项C是错误的。
D. 由于AF是中线，所以△ABF的面积是△ABC面积的一半，即$S_{△ABC}=2S_{△ABF}$，因此选项D是正确的。
所以错误的说法是C。
基础巩固
1. 下列图形中，是三角形的是()
A.
B.
C.
D.
2. 如图，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有()
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
3. 有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
其中正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S_{△ABC}=M cm²，则S_{阴影}的值为()
A. $\dfrac{1}{6}M$ cm²
B. $\dfrac{1}{5}M$ cm²
C. $\dfrac{1}{4}M$ cm²
D. $\dfrac{1}{3}M$ cm²
5. 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列各式中错误的是()
A. BC=2CD
B. ∠BAE=$\dfrac{1}{2}$∠BAC
C. ∠AFB=90°
D. AE=CE
6. 如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，$S_{△ABC}=48$，则$S_{△DEF}$的值为.
7. 如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长.
1. 下列图形中，是三角形的是()
A.
B.
C.
D.
2. 如图，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有()
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
3. 有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
其中正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S_{△ABC}=M cm²，则S_{阴影}的值为()
A. $\dfrac{1}{6}M$ cm²
B. $\dfrac{1}{5}M$ cm²
C. $\dfrac{1}{4}M$ cm²
D. $\dfrac{1}{3}M$ cm²
5. 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列各式中错误的是()
A. BC=2CD
B. ∠BAE=$\dfrac{1}{2}$∠BAC
C. ∠AFB=90°
D. AE=CE
6. 如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，$S_{△ABC}=48$，则$S_{△DEF}$的值为.
7. 如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长.
答案
1.C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.12 7.3
解析
1. 三角形是由三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，选项C符合定义。
2. 图中三角形有△ABC、△ABD、△ADC、△AED、△BED，共5个。
3. ①等边三角形是特殊等腰三角形，正确；②等腰直角三角形存在，正确；③按边分类等腰三角形包含等边三角形，错误；④按角分类正确，共3个正确。
4. D为BC中点，S△ABD=S△ADC=M/2；E为AD中点，S△CDE=M/4；F为CE中点，S阴影=1/2×M/4=M/4。
5. AD是中线得BC=2CD，AE是角平分线得∠BAE=1/2∠BAC，AF是高得∠AFB=90°，AE与CE无必然相等关系，D错误。
6. 利用中点性质，逐步推导得S△DEF=1/4×48=12。
7. △ABD周长+△ACD周长=AB+AC+BC+2AD=15，AB+AC+BC=9，故2AD=6，AD=3。
2. 图中三角形有△ABC、△ABD、△ADC、△AED、△BED，共5个。
3. ①等边三角形是特殊等腰三角形，正确；②等腰直角三角形存在，正确；③按边分类等腰三角形包含等边三角形，错误；④按角分类正确，共3个正确。
4. D为BC中点，S△ABD=S△ADC=M/2；E为AD中点，S△CDE=M/4；F为CE中点，S阴影=1/2×M/4=M/4。
5. AD是中线得BC=2CD，AE是角平分线得∠BAE=1/2∠BAC，AF是高得∠AFB=90°，AE与CE无必然相等关系，D错误。
6. 利用中点性质，逐步推导得S△DEF=1/4×48=12。
7. △ABD周长+△ACD周长=AB+AC+BC+2AD=15，AB+AC+BC=9，故2AD=6，AD=3。
素养提升
8.（创新意识）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，AB=10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒.
$（1）S_{△ABC}=$；
（2）当t=秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
（3）当t=秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（4）当t为何值时，△BCP的面积为12 cm²？
8.（创新意识）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，AB=10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒.
$（1）S_{△ABC}=$；
（2）当t=秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
（3）当t=秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（4）当t为何值时，△BCP的面积为12 cm²？
答案
24；6；6.5；t=2或6.5
解析
（1）$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$。
（2）$△ABC$周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，周长一半为$12\ \mathrm{cm}$。P运动路程为$2t$，当$2t=12$时，$t=6$。此时P在AB上，满足条件。
（3）面积平分需$S_{△BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$。P为AB中点时，$AP=5\ \mathrm{cm}$，路程$CA+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，$t=13÷2=6.5$。
（4）①P在AC上：$S_{△BCP}=\frac{1}{2}×CP×BC=12$，$CP=4\ \mathrm{cm}$，$t=4÷2=2$；②P在AB上：AB边上高$h=\frac{2×24}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，$S_{△BCP}=\frac{1}{2}×PB×h=12$，$PB=5\ \mathrm{cm}$，路程$8+10-5=13\ \mathrm{cm}$，$t=13÷2=6.5$。
（2）$△ABC$周长为$8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，周长一半为$12\ \mathrm{cm}$。P运动路程为$2t$，当$2t=12$时，$t=6$。此时P在AB上，满足条件。
（3）面积平分需$S_{△BCP}=12\ \mathrm{cm}^2$。P为AB中点时，$AP=5\ \mathrm{cm}$，路程$CA+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，$t=13÷2=6.5$。
（4）①P在AC上：$S_{△BCP}=\frac{1}{2}×CP×BC=12$，$CP=4\ \mathrm{cm}$，$t=4÷2=2$；②P在AB上：AB边上高$h=\frac{2×24}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$，$S_{△BCP}=\frac{1}{2}×PB×h=12$，$PB=5\ \mathrm{cm}$，路程$8+10-5=13\ \mathrm{cm}$，$t=13÷2=6.5$。
