1. 下列代数式中,属于分式的是()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{x}{3}+y$
C.$\frac{a^{2}+1}{a}$
D.$\frac{a}{π}$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的定义：分式是指分母中含有字母（这里的字母是可变化的变量，π这类常数不属于字母）的代数式。接下来我们可以逐个分析选项，判断每个选项的分母是否符合分式的要求，从而选出正确答案。
【解析】
根据分式的定义：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
选项A：$\frac{1}{2}$的分母是常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{x}{3}+y$是整式的和，属于整式，不是分式；
选项C：$\frac{a^{2}+1}{a}$的分母是字母a，符合分式的定义，是分式；
选项D：$\frac{a}{π}$的分母π是常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，属于分式的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题考查分式的基本定义，解题的关键是准确区分分母中的常数与字母，特别要注意π是固定的常数，不属于可变化的字母，这是容易出错的点。
【难度系数】
0.8

2. 计算$\frac{5}{a}-\frac{2}{a}$,结果为()

A.$\frac{3}{a}$
B.$\frac{3}{a^{2}}$
C.$-\frac{3}{a}$
D.$\frac{7}{a}$

2. A

【分析】
这是一道同分母分式减法运算题，解题思路是依据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，把分子相减。首先观察两个分式的分母都是$a$，属于同分母分式，所以直接保持分母$a$不变，将分子5和2相减，计算出分子的结果后，就能得到最终的分式，再对照选项选出正确答案。
【解析】
根据同分母分式减法法则：$\frac{b}{a}-\frac{c}{a}=\frac{b-c}{a}$（$a≠0$），
对于$\frac{5}{a}-\frac{2}{a}$，分母不变仍为$a$，分子进行减法运算：$5-2=3$，
所以$\frac{5}{a}-\frac{2}{a}=\frac{5-2}{a}=\frac{3}{a}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式减法
【点评】
本题考查基础的同分母分式减法运算，关键是牢记同分母分式的运算法则，运算时注意分子相减的计算细节，本题较为基础，只要掌握法则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

3. 下列分式中,为最简分式的是()

A.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$
B.$\frac{x-y}{x^{2}-y^{2}}$
C.$\frac{6}{2x+2y}$
D.$\frac{x^{2}}{xy}$

3. A

【分析】
要判断一个分式是否为最简分式，关键看分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式。我们需要对每个选项的分子、分母分别分析，通过因式分解判断是否有公因式：
1. 选项A中，分子$x^2+y^2$无法因式分解，分母$x+y$也不能再分解，二者没有公因式；
2. 选项B的分母$x^2-y^2$可利用平方差公式分解为$(x-y)(x+y)$，与分子$x-y$有公因式$x-y$，可以约分；
3. 选项C的分母$2x+2y$可提取公因式2变为$2(x+y)$，分子6和分母的2有公因式2，能够约分；
4. 选项D的分子$x^2$和分母$xy$有公因式$x$，可以约分。
综上，只有选项A的分式是最简分式。
【解析】
选项A：$\frac{x^2+y^2}{x+y}$，分子$x^2+y^2$不能因式分解，分子分母无公因式，是最简分式；
选项B：$\frac{x-y}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}=\frac{1}{x+y}$，存在公因式$x-y$，不是最简分式；
选项C：$\frac{6}{2x+2y}=\frac{6}{2(x+y)}=\frac{3}{x+y}$，存在公因式2，不是最简分式；
选项D：$\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}$，存在公因式$x$，不是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式定义、因式分解
【点评】
本题主要考查最简分式的判断，核心在于掌握最简分式的定义，同时需熟练运用提取公因式、平方差公式等因式分解方法判断分子分母是否有公因式，解题时要逐一分析每个选项，避免误判。
【难度系数】
0.7

4. 下列运算中错误的是()

A.$\frac{(a-b)^{2}}{(b-a)^{2}}=1$
B.$\frac{-a-b}{a+b}=-1$
C.$\frac{0.5a+b}{0.2a-0.3b}=\frac{5a+10b}{2a-3b}$
D.$\frac{a-b}{a+b}=\frac{b-a}{b+a}$

4. D

【分析】
这道题考查分式的基本性质与变形规则，解题思路是逐个分析选项，依据分式的基本性质（分子分母同乘或同除不为0的数，分式值不变）、相反数的平方特性及分式符号法则来判断运算的正误：
1. 对于选项A，先明确互为相反数的两个数的平方相等，由此判断分子分母是否相等；
2. 选项B可通过提取分子的负号，再与分母约分判断；
3. 选项C根据分式基本性质，分子分母同乘10将小数化为整数，验证变形是否正确；
4. 选项D分析分子变号后分式值的变化，对比等式两边是否相等。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：因为$(b-a)^2=[-(a-b)]^2=(a-b)^2$，且$(a-b)^2≠0$（分式有意义），所以$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}=1$，运算正确；
选项B：分子$-a-b=-(a+b)$，当$a+b≠0$时，$\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1$，运算正确；
选项C：根据分式的基本性质，分子分母同时乘以10（不为0的数），可得$\frac{0.5a+b}{0.2a-0.3b}=\frac{(0.5a+b)×10}{(0.2a-0.3b)×10}=\frac{5a+10b}{2a-3b}$，运算正确；
选项D：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{-(b-a)}{a+b}=-\frac{b-a}{b+a}$，与等式右边$\frac{b-a}{b+a}$不相等，运算错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式的符号法则
【点评】
本题属于分式基础运算的考查，重点在于对分式变形规则的理解与应用，尤其是符号的处理是易错点。解题时需注意分式有意义的前提（分母不为0），同时熟练掌握分子、分母及分式整体符号变化的规律，避免因符号处理错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

5. 若分式$\frac{x^{2}}{x-1}□\frac{x}{x-1}$的运算结果为$x$,则在“$□$”中添加的运算符号为()

A.$+$
B.$-$
C.$-$或$÷$
D.$+$或$×$

5. C

【分析】
要解决这道题，我们可以采用逐一验证法，将每个选项中的运算符号代入分式运算中，计算结果是否为$x$。具体思路如下：
1. 明确分式运算规则：同分母分式加减时分母不变、分子相加减；分式乘法是分子乘分子、分母乘分母；分式除法需转化为乘法后计算；
2. 依次代入“+”“-”“×”“÷”四种运算符号，分别计算结果；
3. 判断计算结果是否等于$x$，筛选出符合条件的运算符号。
【解析】
我们分别对四种运算符号进行验证：
1. 加法运算：
$\frac{x^2}{x-1} + \frac{x}{x-1} = \frac{x^2 + x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{x-1}$，该结果不等于$x$，不符合要求。
2. 减法运算：
$\frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{x^2 - x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1}$，
因为分式分母不能为0，所以$x ≠ 1$，约分后得$x$，符合要求。
3. 乘法运算：
$\frac{x^2}{x-1} × \frac{x}{x-1} = \frac{x^3}{(x-1)^2}$，该结果不等于$x$，不符合要求。
4. 除法运算：
$\frac{x^2}{x-1} ÷ \frac{x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} × \frac{x-1}{x} = x$，约分后结果为$x$，符合要求。
综上，符合条件的运算符号为“-”或“÷”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式四则运算，分式约分
【点评】
本题考查分式的四则运算，解题关键是熟练掌握分式加减、乘除的运算规则，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0）。通过逐一验证的方法筛选出正确运算符号，既考查了运算能力，也培养了严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6

6. 若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{a+b}$,则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为()

A.$\frac{1}{3}$
B.$3$
C.$5$
D.$7$

6. B

【分析】
首先，我们需要从已知条件$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{a+b}$出发，通过分式通分、变形得到$a^2+b^2$与$ab$的关系；然后将所求的$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$进行通分，转化为用$a^2+b^2$和$ab$表示的形式，最后代入前面得到的关系计算出结果。具体思路如下：先对已知等式左边通分，得到分子为$a+b$、分母为$ab$的分式，再与右边等式交叉相乘，利用完全平方公式展开后移项，得到$a^2+b^2=3ab$；接着对所求式子通分，得到$\frac{a^2+b^2}{ab}$，将$a^2+b^2=3ab$代入即可求出值。
【解析】
1. 对已知等式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{a+b}$左边通分：
$\frac{b+a}{ab}=\frac{5}{a+b}$
2. 交叉相乘（$a≠0$，$b≠0$，$a+b≠0$）：
$(a+b)^2=5ab$
3. 展开左边的完全平方：
$a^2+2ab+b^2=5ab$
4. 移项整理：
$a^2+b^2=5ab-2ab=3ab$
5. 对所求式子$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分：
$\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
6. 将$a^2+b^2=3ab$代入上式：
$\frac{3ab}{ab}=3$（$ab≠0$）
【答案】
B
【知识点】
分式通分，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题主要考查分式的运算及整体代入思想的应用，解题关键是通过对已知条件变形得到$a^2+b^2$与$ab$的关系，再将所求式子转化为含该关系的形式进行计算，要求学生熟练掌握分式通分和完全平方公式的运用。
【难度系数】
0.6

7. 老师设计了一个接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简。过程如下图所示:

接力中,自己负责的一步出现错误的是()

A.乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁

7. D

【分析】
要判断接力中哪一步出错，需根据分式的运算法则，逐步检查每一步的变形是否正确：
1. 首先回忆分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，据此检查甲的步骤；
2. 注意$1-x$与$x-1$的关系：$1-x=-(x-1)$，据此检查乙的符号是否正确；
3. 利用提公因式法分解因式，检查丙的因式分解是否正确；
4. 最后根据分式约分的规则，检查丁的约分结果是否正确。
【解析】
我们逐步分析每一步：
1. 老师给出的式子：$\boldsymbol{\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}}$
2. 甲的步骤：根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，即$\boldsymbol{\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}}$，甲的步骤正确；
3. 乙的步骤：乙将$\frac{1-x}{x^2}$写成$\frac{x-1}{x^2}$，但$1-x=-(x-1)$，正确的变形应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，所以乙的步骤错误；
4. 丙的步骤：将分子$x^2-2x$分解因式为$x(x-2)$，得到$\boldsymbol{\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}}$，此步骤的因式分解操作正确；
5. 丁的步骤：对$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$约分，分子分母约去$x(x-1)$后，结果应为$\boldsymbol{\frac{x-2}{x}}$，而丁得到$\frac{x-2}{2}$，丁的步骤错误。
综上，出现错误的是乙和丁，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算；提公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式的基础运算，核心是熟练掌握分式除法法则、因式分解及约分规则，尤其要注意符号的处理，这是此类题目容易出错的关键点。
【难度系数】
0.6

8. 已知$b＞a＞0$,则分式$\frac{a}{b}$与$\frac{a+1}{b+1}$的大小关系()

A.为$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$
B.为$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
C.为$\frac{a}{b}＞\frac{a+1}{b+1}$
D.不能确定

8. A

【分析】
要比较两个分式的大小，常用作差法。首先计算两个分式的差，通过通分化简后，根据已知条件$b＞a＞0$判断差的正负，若差为负，则被减数小于减数；若差为正，则被减数大于减数。具体步骤为：先对$\frac{a}{b}$与$\frac{a+1}{b+1}$作差，再通分计算分子，结合已知条件判断分子分母的正负，进而得出两个分式的大小关系。
【解析】
比较$\frac{a}{b}$与$\frac{a+1}{b+1}$的大小，采用作差法：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}&=\frac{a(b+1)-b(a+1)}{b(b+1)}\\&=\frac{ab+a - ab - b}{b(b+1)}\\&=\frac{a - b}{b(b+1)}\end{aligned}$
已知$b＞a＞0$，则$a - b＜0$，且$b＞0$，$b+1＞0$，所以$b(b+1)＞0$。
因此$\frac{a - b}{b(b+1)}＜0$，即$\frac{a}{b} - \frac{a+1}{b+1}＜0$，所以$\frac{a}{b}＜\frac{a+1}{b+1}$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小、分式通分运算
【点评】
本题考查分式大小比较的基本方法，作差法是解决这类问题的常用手段，解题过程中需要熟练掌握分式的通分运算以及根据已知条件判断代数式的正负性，整体难度适中，有助于巩固分式运算和大小比较的相关知识。
【难度系数】
0.7

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
9. 如果分式$\frac{7}{x-2}$有意义,则$x$的取值范围为。

9. $ x ≠ 2 $

【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆分式有意义的条件：分式有意义的前提是分母不能为0。接下来找到题目中分式的分母是$x-2$，只需要让分母不等于0，列出不等式并求解，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\frac{7}{x-2}$，其分母为$x-2$，因此可得：
$x-2 ≠ 0$
解这个不等式，得：
$x ≠ 2$
【答案】
$x ≠ 2$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基础知识点，属于分式入门类题目，只要牢记分式分母不为0的规则，就能轻松求解，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

10. 如果$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$,那么$\frac{2x-y}{y}=$。

10. 5

【分析】
首先，题目给出了$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$的比例关系，要求$\frac{2x-y}{y}$的值。我们可以从两个思路入手：一是利用比例关系将其中一个变量用另一个变量表示，再代入所求分式计算；二是将所求分式拆分成两个分式的差，结合已知比例的倒数进行计算。
思路一：由$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$可推出$x=3y$，把$x=3y$代入$\frac{2x-y}{y}$，通过化简计算得出结果；
思路二：将$\frac{2x-y}{y}$拆分为$\frac{2x}{y}-\frac{y}{y}$，即$\frac{2x}{y}-1$，再根据$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$得到$\frac{x}{y}=3$，代入后计算即可。
【解析】
方法一：
已知$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$，交叉相乘可得$x=3y$。
将$x=3y$代入$\frac{2x-y}{y}$中：
$\begin{aligned}\frac{2x-y}{y}&=\frac{2×3y - y}{y}\\&=\frac{6y - y}{y}\\&=\frac{5y}{y}\\&=5\end{aligned}$
方法二：
对$\frac{2x-y}{y}$进行拆分：
$\frac{2x-y}{y}=\frac{2x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{2x}{y}-1$
因为$\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$，所以其倒数$\frac{x}{y}=3$，代入上式：
$\frac{2x}{y}-1=2×3 -1=6-1=5$
【答案】
5
【知识点】
分式化简求值、比例的性质
【点评】
本题主要考查分式的运算及比例性质的应用，解题方法灵活多样，既可以通过代入消元法计算，也可以利用分式拆分结合比例倒数转化求解。题目难度较低，旨在巩固学生对分式变形和比例关系的理解与运用，只要掌握基本的分式运算规则和比例转化方法，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8

11. 化简$\frac{a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-a}$,结果是。

11. $ a + b $

【分析】
首先观察到两个分式的分母$a-b$和$b-a$互为相反数，解题思路是先将它们化为同分母分式：把$b-a$变形为$-(a-b)$，这样第二个分式的分母就与第一个分式的分母一致，同时分子$b^2$要变为$-b^2$；接着进行同分母分式的加减运算，分子相减得到$a^2 - b^2$；然后利用平方差公式对分子因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{b-a}&=\frac{a^{2}}{a-b}+\frac{b^{2}}{-(a-b)}\\&=\frac{a^{2}}{a-b}-\frac{b^{2}}{a-b}\\&=\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\\&=a+b \quad (a≠ b)\end{aligned}$
【答案】
$a + b$
【知识点】
分式加减运算，平方差公式
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心是利用分母的相反数关系转化为同分母分式，再结合平方差公式因式分解约分，需注意分式有意义的条件是分母不为0，即$a≠ b$，整体考查对分式运算规则和因式分解公式的掌握。
【难度系数】
0.8

12. 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6$,则$\frac{3x-2xy+3y}{3xy+x+y}=$。

12. $ \dfrac{16}{9} $

【分析】
首先观察已知条件与所求分式的结构特点，发现已知条件可通过通分转化为$x+y$与$xy$的等量关系，而所求分式的分子分母均能整理成含$x+y$和$xy$的形式。因此解题思路为：先对已知等式通分变形，得到$x+y=6xy$；再将该关系整体代入所求分式，把分式转化为仅含$xy$的形式；最后通过约分化简得出结果。
【解析】
已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6$，对左边通分：
$\frac{x+y}{xy}=6$，
因为$x≠0$，$y≠0$（否则原式无意义），两边同乘$xy$得：
$x+y=6xy$。
将$x+y=6xy$代入$\frac{3x-2xy+3y}{3xy+x+y}$：
分子变形为$3(x+y)-2xy$，代入得$3×6xy - 2xy=18xy-2xy=16xy$；
分母变形为$3xy+(x+y)$，代入得$3xy+6xy=9xy$。
则原式$=\frac{16xy}{9xy}=\frac{16}{9}$（约去公因式$xy$，$xy≠0$）。
【答案】
$\dfrac{16}{9}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题重点考查分式的变形技巧与整体代入思想，通过将已知条件转化为$x+y$与$xy$的关系，避免单独求解$x$、$y$的具体值，简化了计算流程，要求学生熟练掌握分式通分及代数式变形的方法。
【难度系数】
0.7

13. 若$\frac{2x}{2x+3}$表示一个整数,则整数$x$的值为。

13. -1 或 -2 或 0 或 -3
【解析】因为 $ \dfrac{2x}{2x + 3} = \dfrac{2x + 3 - 3}{2x + 3} = 1 - \dfrac{3}{2x + 3} $，
所以 $ 2x + 3 $ 的值为 $ \pm 1, \pm 3 $。
因为 $ x $ 为整数，
所以 $ x $ 的值为 -1 或 -2 或 0 或 -3。

【分析】
要解决这个问题，核心思路是通过分式恒等变形简化式子，进而利用整数的整除性确定取值。首先观察分式$\frac{2x}{2x+3}$，将分子$2x$凑成与分母$2x+3$相关的形式，即$2x=(2x+3)-3$，这样分式可拆分为$1-\frac{3}{2x+3}$。由于整个分式是整数，1是整数，因此$\frac{3}{2x+3}$必须是整数，这意味着分母$2x+3$是3的整数约数，即$2x+3$的值为$\pm1$、$\pm3$，最后分别求解这四种情况的整数$x$即可。
【解析】
因为 $\dfrac{2x}{2x + 3} = \dfrac{2x + 3 - 3}{2x + 3} = 1 - \dfrac{3}{2x + 3}$，
又因为$\frac{2x}{2x+3}$表示一个整数，1是整数，所以$\frac{3}{2x+3}$必须是整数，
则$2x + 3$的值为$\pm 1, \pm 3$：
当$2x+3=1$时，解得$x=-1$；
当$2x+3=-1$时，解得$x=-2$；
当$2x+3=3$时，解得$x=0$；
当$2x+3=-3$时，解得$x=-3$。
经检验，这四个$x$的值均为整数，符合题意。
【答案】
-1 或 -2 或 0 或 -3
【知识点】
分式的恒等变形、整数的约数性质
【点评】
本题考查分式变形技巧与整数整除性的综合应用，通过凑项将分式简化是解题关键。需注意分母不能为0，本题中$2x+3$取$\pm1$、$\pm3$均不为0，无需额外排除，同时要确保求出的$x$为整数。
【难度系数】
0.4