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三、解答题(共 35 分)
14. (12 分)计算:
(1)$\frac{2x}{3y}·(\frac{3y}{z})^{2}÷\frac{xy}{z^{2}}$。
(2)$\frac{a+2}{a^{2}-2a}·\frac{a^{2}-4a+4}{a+2}$。
(3)$\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}$。
(4)$\frac{x^{2}+2x+1}{x+2}+\frac{x^{2}-1}{x-1}-\frac{x}{x+2}$。
14. (12 分)计算:
(1)$\frac{2x}{3y}·(\frac{3y}{z})^{2}÷\frac{xy}{z^{2}}$。
(2)$\frac{a+2}{a^{2}-2a}·\frac{a^{2}-4a+4}{a+2}$。
(3)$\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}$。
(4)$\frac{x^{2}+2x+1}{x+2}+\frac{x^{2}-1}{x-1}-\frac{x}{x+2}$。
答案
14. 解：(1)原式 $ = \dfrac{2x}{3y} · \dfrac{9y^{2}}{z^{2}} · \dfrac{z^{2}}{xy} $
$ = 6 $。
(2)原式 $ = \dfrac{a + 2}{a(a - 2)} · \dfrac{(a - 2)^{2}}{a + 2} $
$ = \dfrac{a - 2}{a} $。
(3)原式 $ = \dfrac{2x - x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{1}{x + 1} $。
(4)原式 $ = \dfrac{x^{2} + 2x + 1 - x}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + x + 1 $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1 + x^{2} + 3x + 2}{x + 2} $
$ = \dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2} $。
$ = 6 $。
(2)原式 $ = \dfrac{a + 2}{a(a - 2)} · \dfrac{(a - 2)^{2}}{a + 2} $
$ = \dfrac{a - 2}{a} $。
(3)原式 $ = \dfrac{2x - x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{1}{x + 1} $。
(4)原式 $ = \dfrac{x^{2} + 2x + 1 - x}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + x + 1 $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1 + x^{2} + 3x + 2}{x + 2} $
$ = \dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2} $。
解析
【分析】
这是分式混合运算的综合题，需依据分式运算规则分步处理：
(1) 分式乘除混合运算，先算乘方，再将除法转化为乘法（除以分式等于乘其倒数），最后通过约分简化计算；
(2) 分式乘法运算，先对分子分母因式分解，再约去公因式得到最简分式；
(3) 分式减法运算，先确定最简公分母通分，将异分母分式化为同分母，再合并分子，最后约分；
(4) 分式加减混合运算，先合并同分母分式，再对异分母分式通分转化为同分母，合并后整理结果。
【解析】
(1) 原式 $ = \dfrac{2x}{3y} · \dfrac{9y^{2}}{z^{2}} · \dfrac{z^{2}}{xy} $
$ = \dfrac{2x·9y^{2}·z^{2}}{3y·z^{2}·xy} $
$ = 6 $。
(2) 原式 $ = \dfrac{a + 2}{a(a - 2)} · \dfrac{(a - 2)^{2}}{a + 2} $
$ = \dfrac{(a + 2)(a - 2)^{2}}{a(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{a - 2}{a} $。
(3) 原式 $ = \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} - \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{2x - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{1}{x + 1} $。
(4) 原式 $ = \dfrac{x^{2} + 2x + 1 - x}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + x + 1 $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x + 2} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1 + x^{2} + 3x + 2}{x + 2} $
$ = \dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2} $。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a - 2}{a}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{x + 1}}$；(4) $\boldsymbol{\dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2}}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；需灵活运用因式分解实现约分和通分，注意运算中符号的变化，最终结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.6
这是分式混合运算的综合题，需依据分式运算规则分步处理：
(1) 分式乘除混合运算，先算乘方，再将除法转化为乘法（除以分式等于乘其倒数），最后通过约分简化计算；
(2) 分式乘法运算，先对分子分母因式分解，再约去公因式得到最简分式；
(3) 分式减法运算，先确定最简公分母通分，将异分母分式化为同分母，再合并分子，最后约分；
(4) 分式加减混合运算，先合并同分母分式，再对异分母分式通分转化为同分母，合并后整理结果。
【解析】
(1) 原式 $ = \dfrac{2x}{3y} · \dfrac{9y^{2}}{z^{2}} · \dfrac{z^{2}}{xy} $
$ = \dfrac{2x·9y^{2}·z^{2}}{3y·z^{2}·xy} $
$ = 6 $。
(2) 原式 $ = \dfrac{a + 2}{a(a - 2)} · \dfrac{(a - 2)^{2}}{a + 2} $
$ = \dfrac{(a + 2)(a - 2)^{2}}{a(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{a - 2}{a} $。
(3) 原式 $ = \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} - \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{2x - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} $
$ = \dfrac{1}{x + 1} $。
(4) 原式 $ = \dfrac{x^{2} + 2x + 1 - x}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + x + 1 $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1}{x + 2} + \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x + 2} $
$ = \dfrac{x^{2} + x + 1 + x^{2} + 3x + 2}{x + 2} $
$ = \dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2} $。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a - 2}{a}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{x + 1}}$；(4) $\boldsymbol{\dfrac{2x^{2} + 4x + 3}{x + 2}}$
【知识点】
分式的乘除运算、分式的加减运算、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；需灵活运用因式分解实现约分和通分，注意运算中符号的变化，最终结果要化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.6
15. (10 分)(1)先化简,再求值:$\frac{2a}{a^{2}-4}-\frac{1}{a-2}$,其中$a=-1$。
(2)已知$M=\frac{2ab-a^{2}}{(a-1)^{2}},N=\frac{b^{2}}{(1-a)^{2}}$,若$a≠1$,请比较$M$与$N$的大小。
(2)已知$M=\frac{2ab-a^{2}}{(a-1)^{2}},N=\frac{b^{2}}{(1-a)^{2}}$,若$a≠1$,请比较$M$与$N$的大小。
答案
15. 解：(1)原式 $ = \dfrac{2a}{(a - 2)(a + 2)} - \dfrac{1}{a - 2} $
$ = \dfrac{2a - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{1}{a + 2} $。
当 $ a = -1 $ 时，原式 $ = \dfrac{1}{-1 + 2} = 1 $。
(2)$ M - N = \dfrac{2ab - a^{2}}{(a - 1)^{2}} - \dfrac{b^{2}}{(1 - a)^{2}} = \dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} ≤ 0 $，
故 $ M ≤ N $。
$ = \dfrac{2a - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{1}{a + 2} $。
当 $ a = -1 $ 时，原式 $ = \dfrac{1}{-1 + 2} = 1 $。
(2)$ M - N = \dfrac{2ab - a^{2}}{(a - 1)^{2}} - \dfrac{b^{2}}{(1 - a)^{2}} = \dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} ≤ 0 $，
故 $ M ≤ N $。
解析
【分析】
(1)对于分式化简求值题，先对分母因式分解确定最简公分母，这里$a^2-4$分解为$(a-2)(a+2)$，再将两个分式通分，转化为同分母分式进行减法运算，约分得到最简形式后，代入$a=-1$计算结果。
(2)比较两个分式大小采用作差法，先发现$(a-1)^2=(1-a)^2$，即两个分式分母相同，直接对分子作差，将分子整理为完全平方形式，利用完全平方的非负性和分母的正负性，判断差的正负，进而得出$M$与$N$的大小关系。
【解析】
(1)原式 $ = \dfrac{2a}{(a - 2)(a + 2)} - \dfrac{1}{a - 2} $
$ = \dfrac{2a - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{1}{a + 2} $。
当 $ a = -1 $ 时，原式 $ = \dfrac{1}{-1 + 2} = 1 $。
(2)$ M - N = \dfrac{2ab - a^{2}}{(a - 1)^{2}} - \dfrac{b^{2}}{(1 - a)^{2}} = \dfrac{2ab - a^2 - b^2}{(a - 1)^2} = \dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} $
因为$a≠1$，所以$(1-a)^2＞0$，又$(a-b)^2≥0$，故$\dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} ≤ 0 $，
因此 $ M ≤ N $。
【答案】
(1)化简结果为$\dfrac{1}{a+2}$，求值结果为$1$；(2)$M≤ N$
【知识点】
分式化简求值、作差法比大小、完全平方公式
【点评】
本题考查分式的基础运算与大小比较，第一小问聚焦分式通分、约分的基本技能，第二小问结合作差法与完全平方公式的非负性进行代数推理，是分式模块的典型综合题型，能有效检验学生的运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)对于分式化简求值题，先对分母因式分解确定最简公分母，这里$a^2-4$分解为$(a-2)(a+2)$，再将两个分式通分，转化为同分母分式进行减法运算，约分得到最简形式后，代入$a=-1$计算结果。
(2)比较两个分式大小采用作差法，先发现$(a-1)^2=(1-a)^2$，即两个分式分母相同，直接对分子作差，将分子整理为完全平方形式，利用完全平方的非负性和分母的正负性，判断差的正负，进而得出$M$与$N$的大小关系。
【解析】
(1)原式 $ = \dfrac{2a}{(a - 2)(a + 2)} - \dfrac{1}{a - 2} $
$ = \dfrac{2a - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} $
$ = \dfrac{1}{a + 2} $。
当 $ a = -1 $ 时，原式 $ = \dfrac{1}{-1 + 2} = 1 $。
(2)$ M - N = \dfrac{2ab - a^{2}}{(a - 1)^{2}} - \dfrac{b^{2}}{(1 - a)^{2}} = \dfrac{2ab - a^2 - b^2}{(a - 1)^2} = \dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} $
因为$a≠1$，所以$(1-a)^2＞0$，又$(a-b)^2≥0$，故$\dfrac{-(a - b)^{2}}{(1 - a)^{2}} ≤ 0 $，
因此 $ M ≤ N $。
【答案】
(1)化简结果为$\dfrac{1}{a+2}$，求值结果为$1$；(2)$M≤ N$
【知识点】
分式化简求值、作差法比大小、完全平方公式
【点评】
本题考查分式的基础运算与大小比较，第一小问聚焦分式通分、约分的基本技能，第二小问结合作差法与完全平方公式的非负性进行代数推理，是分式模块的典型综合题型，能有效检验学生的运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
16. (13 分)阅读理解:
【例】已知$x+\frac{1}{x}=3$,求分式$\frac{x}{x^{2}-4x+1}$的值。
解:因为$\frac{x^{2}-4x+1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-4=3-4=-1$,所以$\frac{x}{x^{2}-4x+1}=-1$。
【活学活用】
(1)已知$a+\frac{1}{a}=-5$,求分式$\frac{2a^{2}+5a+2}{a}$的值。
(2)已知$b+\frac{1}{b}=-3$,求分式$\frac{b}{3b^{2}-4b+3}$的值。
(3)已知$x+\frac{1}{x-1}=-5$,求分式$\frac{x-1}{x^{2}-3x+3}$的值。
【例】已知$x+\frac{1}{x}=3$,求分式$\frac{x}{x^{2}-4x+1}$的值。
解:因为$\frac{x^{2}-4x+1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-4=3-4=-1$,所以$\frac{x}{x^{2}-4x+1}=-1$。
【活学活用】
(1)已知$a+\frac{1}{a}=-5$,求分式$\frac{2a^{2}+5a+2}{a}$的值。
(2)已知$b+\frac{1}{b}=-3$,求分式$\frac{b}{3b^{2}-4b+3}$的值。
(3)已知$x+\frac{1}{x-1}=-5$,求分式$\frac{x-1}{x^{2}-3x+3}$的值。
答案
16. 解：(1)因为 $ a + \dfrac{1}{a} = -5 $，
所以 $ \dfrac{2a^{2} + 5a + 2}{a} = 2a + 5 + \dfrac{2}{a} = 2(a + \dfrac{1}{a}) + 5 = 2 × (-5) + 5 = -5 $。
(2)因为 $ b + \dfrac{1}{b} = -3 $，
所以 $ \dfrac{3b^{2} - 4b + 3}{b} = 3b - 4 + \dfrac{3}{b} = 3(b + \dfrac{1}{b}) - 4 = 3 × (-3) - 4 = -13 $，
所以 $ \dfrac{b}{3b^{2} - 4b + 3} = -\dfrac{1}{13} $。
(3)因为 $ x + \dfrac{1}{x - 1} = -5 $，
所以 $ \dfrac{x^{2} - 3x + 3}{x - 1} = \dfrac{x^{2} - 1 - 3(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 - 3 + \dfrac{1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1} - 2 = -5 - 2 = -7 $，
所以 $ \dfrac{x - 1}{x^{2} - 3x + 3} = -\dfrac{1}{7} $。
所以 $ \dfrac{2a^{2} + 5a + 2}{a} = 2a + 5 + \dfrac{2}{a} = 2(a + \dfrac{1}{a}) + 5 = 2 × (-5) + 5 = -5 $。
(2)因为 $ b + \dfrac{1}{b} = -3 $，
所以 $ \dfrac{3b^{2} - 4b + 3}{b} = 3b - 4 + \dfrac{3}{b} = 3(b + \dfrac{1}{b}) - 4 = 3 × (-3) - 4 = -13 $，
所以 $ \dfrac{b}{3b^{2} - 4b + 3} = -\dfrac{1}{13} $。
(3)因为 $ x + \dfrac{1}{x - 1} = -5 $，
所以 $ \dfrac{x^{2} - 3x + 3}{x - 1} = \dfrac{x^{2} - 1 - 3(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 - 3 + \dfrac{1}{x - 1} = x + \dfrac{1}{x - 1} - 2 = -5 - 2 = -7 $，
所以 $ \dfrac{x - 1}{x^{2} - 3x + 3} = -\dfrac{1}{7} $。
解析
【分析】
这道题属于阅读理解类题型，需模仿例题“先求倒数，再求原分式值”的思路解题：
1. 对于(1)小问，直接将所求分式拆分变形，提取公因式后凑出已知的$a+\frac{1}{a}$，利用整体代入法计算即可；
2. 对于(2)小问，先求所求分式的倒数，拆分后凑出$b+\frac{1}{b}$，代入已知条件算出倒数的值，再取倒数得到原分式结果；
3. 对于(3)小问，同样先求倒数，将分子拆分变形，凑出已知的$x+\frac{1}{x-1}$，代入计算后取倒数得到原分式的值。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=-5$，
$\frac{2a^{2}+5a+2}{a}=2a+5+\frac{2}{a}=2(a+\frac{1}{a})+5$，
将$a+\frac{1}{a}=-5$代入得：$2×(-5)+5=-10+5=-5$；
(2) 已知$b+\frac{1}{b}=-3$，
先求$\frac{3b^{2}-4b+3}{b}=3b-4+\frac{3}{b}=3(b+\frac{1}{b})-4$，
代入$b+\frac{1}{b}=-3$得：$3×(-3)-4=-9-4=-13$，
所以$\frac{b}{3b^{2}-4b+3}=-\frac{1}{13}$；
(3) 已知$x+\frac{1}{x-1}=-5$，
先求$\frac{x^{2}-3x+3}{x-1}=\frac{(x^{2}-1)-3(x-1)+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)-3(x-1)+1}{x-1}=x+1-3+\frac{1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}-2$，
代入$x+\frac{1}{x-1}=-5$得：$-5-2=-7$，
所以$\frac{x-1}{x^{2}-3x+3}=-\frac{1}{7}$；
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{13}}$；(3) $\boldsymbol{-\frac{1}{7}}$
【知识点】
分式的拆分变形、整体代入求值、倒数法求分式值
【点评】
本题通过例题引导，考查分式的灵活变形与整体代入思想的运用，要求学生具备逆向思维，学会通过先求分式倒数简化计算，提升了分式运算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这道题属于阅读理解类题型，需模仿例题“先求倒数，再求原分式值”的思路解题：
1. 对于(1)小问，直接将所求分式拆分变形，提取公因式后凑出已知的$a+\frac{1}{a}$，利用整体代入法计算即可；
2. 对于(2)小问，先求所求分式的倒数，拆分后凑出$b+\frac{1}{b}$，代入已知条件算出倒数的值，再取倒数得到原分式结果；
3. 对于(3)小问，同样先求倒数，将分子拆分变形，凑出已知的$x+\frac{1}{x-1}$，代入计算后取倒数得到原分式的值。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=-5$，
$\frac{2a^{2}+5a+2}{a}=2a+5+\frac{2}{a}=2(a+\frac{1}{a})+5$，
将$a+\frac{1}{a}=-5$代入得：$2×(-5)+5=-10+5=-5$；
(2) 已知$b+\frac{1}{b}=-3$，
先求$\frac{3b^{2}-4b+3}{b}=3b-4+\frac{3}{b}=3(b+\frac{1}{b})-4$，
代入$b+\frac{1}{b}=-3$得：$3×(-3)-4=-9-4=-13$，
所以$\frac{b}{3b^{2}-4b+3}=-\frac{1}{13}$；
(3) 已知$x+\frac{1}{x-1}=-5$，
先求$\frac{x^{2}-3x+3}{x-1}=\frac{(x^{2}-1)-3(x-1)+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)-3(x-1)+1}{x-1}=x+1-3+\frac{1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}-2$，
代入$x+\frac{1}{x-1}=-5$得：$-5-2=-7$，
所以$\frac{x-1}{x^{2}-3x+3}=-\frac{1}{7}$；
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{13}}$；(3) $\boldsymbol{-\frac{1}{7}}$
【知识点】
分式的拆分变形、整体代入求值、倒数法求分式值
【点评】
本题通过例题引导，考查分式的灵活变形与整体代入思想的运用，要求学生具备逆向思维，学会通过先求分式倒数简化计算，提升了分式运算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
