9. (★★)如图，在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AD // BC$，$AB = CD$，$∠ B = 60^{\circ}$，$AD = 8$，$BC = 18$，求梯形 $ABCD$ 的腰 $AB$ 的长和面积.

过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=8。
∵ABCD是等腰梯形，AB=CD，
∴BE=FC=(BC - EF)/2=(18 - 8)/2=5。
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2×5=10（30°角所对直角边是斜边的一半）。
AE=√(AB² - BE²)=√(10² - 5²)=√75=5√3。
梯形ABCD面积=(AD + BC)×AE/2=(8 + 18)×5√3/2=65√3。
AB=10，面积=65√3。

10. (★)在 $□ ABCD$ 中，$∠ A:∠ B = 1:2$，则 $∠ C$ 的度数为 【 】

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

C

在平行四边形ABCD中，已知$∠ A : ∠ B = 1 : 2$。
根据平行四边形的邻角互补性质，有：
$∠ A + ∠ B = 180^{\circ}$。
由题意，设$∠ A = x$，则$∠ B = 2x$。
代入邻角互补的等式中，得到：
$x + 2x = 180^{\circ}$，
$3x = 180^{\circ}$，
$x = 60^{\circ}$。
由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等性质，有：
$∠ C = ∠ A = 60^{\circ}$。

11. (★★)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，则 $△ AOD$ 的周长不可能为 【 】

A.$14\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$17\ \mathrm{cm}$
D.$18\ \mathrm{cm}$

A

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=7cm，AO=AC/2=3cm，BO=OD。在△BOC中，BC=7cm，OC=3cm，由三角形三边关系得：BC-OC＜BO＜BC+OC，即4cm＜BO＜10cm，∴4cm＜OD＜10cm。△AOD周长=AO+OD+AD=3+OD+7=10+OD，∴14cm＜周长＜20cm，故周长不可能为14cm。

12. (★★)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE$ 平分 $∠ BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$，连接 $OE$，若 $∠ ADC = 60^{\circ}$，$BC = 2CD$，有下列结论：① $∠ CAD = 30^{\circ}$；② $S_{□ ABCD} = AB· AC$；③ $OB = AB$；④ $BE = 2OE$. 其中结论成立的有 【 】

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

C

∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠BAD=120°，AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∵BC=2CD，∴AD=2AB.
①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°，
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，AB=BE=AE.
∵BC=2AB，∴EC=BC-BE=AB=CD.
在△ADC中，AD=2CD，∠ADC=60°，
由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2·AD·CD·cos60°=3CD²，
∴AC=√3CD，∴AD²=AC²+CD²，∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，①正确.
②∵AB//CD，∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°（内错角），
∴AC⊥AB，∴S□ABCD=AB·AC，②正确.
③由勾股定理得BD²=AB²+AD²-2·AB·AD·cos120°=7AB²，
∴OB=BD/2=√7AB/2≠AB，③错误.
④∵E为BC中点（BE=EC=AB），O为AC中点，
∴OE是△ABC中位线，OE=AB/2，
∵BE=AB，∴BE=2OE，④正确.
综上，①②④正确，共3个.

13. (★★)如图，$l_1 // l_2$，$BE // CF$，$BA ⊥ l_1$，$DC ⊥ l_2$. 有下列四个结论：① $AB = DC$；② $BE = CF$；③ $S_{△ ABE} = S_{△ DCF}$；④ $S_{□ ABCD} = S_{□ BCFE}$. 其中正确的结论有 【 】

A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个

A

∵$l_1// l_2$，$BA⊥ l_1$，$DC⊥ l_2$，∴$AB$，$DC$为平行线$l_1$，$l_2$间的垂线段，故$AB=DC$，①正确；
∵$BE// CF$，且$l_1// l_2$，即$EF// BC$，∴四边形$BCFE$为平行四边形，故$BE=CF$，②正确；
∵四边形$ABCD$中，$AB// DC$（均垂直于平行线）且$AB=DC$，∴四边形$ABCD$为平行四边形，∴$AD=BC$。又∵四边形$BCFE$为平行四边形，∴$EF=BC$，故$AD=EF$，即$AE+ED=ED+DF$，得$AE=DF$。∵$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE· AB$，$S_{△ DCF}=\frac{1}{2}DF· DC$，且$AE=DF$，$AB=DC$，∴$S_{△ ABE}=S_{△ DCF}$，③正确；
$S_{□ ABCD}=BC· AB$（底$BC$，高$AB$），$S_{□ BCFE}=BC· AB$（底$BC$，高$AB$），故面积相等，④正确。
综上，4个结论均正确。

14. (★★)如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 2$，$BD = 4$，则 $AE$ 的长为 .

2√21/7

在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，故AO=AC/2=1，BO=BD/2=2。在△AOB中，AO=1，BO=2，AB=√3，满足1²+(√3)²=2²，即△AOB为直角三角形，∠OAB=90°，则AB⊥AC。
在Rt△ABC中，AB=√3，AC=2，由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(3+4)=√7。
□ABCD的面积=AB×AC=√3×2=2√3。又□ABCD的面积=BC×AE，故AE=2√3/√7=2√21/7。