15. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AC = AD$，$AE ⊥ BC$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$. 求证：$AE = DF$.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。
∴∠ACB=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEC=∠DFA=90°（垂直的定义）。
∵AC=AD（已知），
在△AEC和△DFA中，
∠AEC=∠DFA，
∠ACE=∠DAF，
AC=DA，
∴△AEC≌△DFA（AAS）。
∴AE=DF（全等三角形对应边相等）。

16. (★★★)【新定义】如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的 $3$ 倍，那么称这个平行四边形为 “倍线平行四边形”.
【数学思考】如图 ①，在 $□ ABCD$ 中，若 $AB = BC = 2\sqrt{10}$，$AC = 4$，试判断 $□ ABCD$ 是否为 “倍线平行四边形”，并说明理由.
【深入探究】如图 ②，$□ ABCD$ 为 “倍线平行四边形” ($BD ＞ AC$)，$E$ 是 $BC$ 上的动点，连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$. 若 $E$ 是 $BC$ 的中点，$AC ⊥ AB$，$AB = 2\sqrt{2}$，求 $AE$ 的长. (注：$AE = \dfrac{1}{2}BC$)

【数学思考】
是“倍线平行四边形”。理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，且$AB = BC$，
∴$□ABCD$是菱形，对角线$AC$与$BD$互相垂直平分。
设$AC$与$BD$交于点$O$，则$AO=\frac{1}{2}AC = 2$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
在$Rt△ AOB$中，$AB = 2\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$AO^2 + BO^2 = AB^2$，即$2^2 + BO^2=(2\sqrt{10})^2$，
解得$BO = 6$，∴$BD = 2BO = 12$。
∵$BD = 3AC$（$12 = 3×4$），
∴$□ABCD$是“倍线平行四边形”。
【深入探究】
$AE = \sqrt{3}$。
理由如下：
设$AC = x$，∵$□ABCD$是“倍线平行四边形”且$BD＞AC$，∴$BD = 3x$。
∵平行四边形对角线互相平分，∴$AO=\frac{x}{2}$，$BO=\frac{3x}{2}$。
∵$AC⊥AB$，在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AO^2 = BO^2$，即$(2\sqrt{2})^2 + (\frac{x}{2})^2=(\frac{3x}{2})^2$，
解得$x = 2$（$x＞0$），∴$AC = 2$。
在$Rt△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2}=2\sqrt{3}$。
∵$E$是$BC$中点，且$AC⊥AB$，
∴$AE$是$Rt△ ABC$斜边$BC$上的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$。