例 1 如图 10.3 - 4，A，B 两地有公路和铁路相连，中途有一家食品厂，它到 B 地的距离是到 A 地的 2 倍，这家厂从 A 地购买原料，制成食品卖到 B 地. 已知公路运价为 1.5 元/(km·t)，铁路运价为 1 元/(km·t)，这两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂→B 地)共支出公路运费 15600 元，铁路运费 20600 元.
(1)这家食品厂到 A 地的距离是多少？
(2)这家食品厂此次买进的原料每吨 5000 元，卖出的食品每吨 10000 元，此批食品销售完后共获利多少元？

图 10.3 - 4
【思路导析】(1)根据题意设这家食品厂到 A 地的距离是 $ x $ km，到 B 地的距离是 $ y $ km，它到 B 地的距离是到 A 地距离的 2 倍，可得 $ 2x = y $. 再根据题图可得 $ x + y = 20 + 30 + 100 $.
(2)根据题意设这家食品厂此次买进原料 $ m $ t，卖出食品 $ n $ t，再根据公路和铁路的运费列出方程即可.
【请你解答】

(1)设这家食品厂到A地的距离是$x\ \mathrm{km}$,到B地的距离是$y\ \mathrm{km}$.
根据题意,得$\begin{cases} 2x=y,\\ x+y=20+30+100,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=50,\\ y=100.\\ \end{cases}$
这家食品厂到A地的距离是50 km.
(2)设这家食品厂此次买进原料$m\ \mathrm{t}$,卖出食品$n\ \mathrm{t}$.根据题意,得
$\begin{cases} 1.5×20m+1.5×30n=15\ 600,\\ 1×(50-20)m+1×(100-30)n=20\ 600,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=220,\\ n=200.\\ \end{cases}$
所以$10\ 000n-5\ 000m-15\ 600-20\ 600=863\ 800$.
此批食品销售完后共获利863 800元.

例 2 在“端午”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图 10.3 - 5).

图 10.3 - 5
试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)更省钱的购票方式是什么？
【思路导析】(1)所有成人票钱数 + 所有学生票钱数 = 400，成人数 + 学生数 = 12. (2)求出购买 16 张团体票的总钱数，将其与 400 进行比较后即可得出结论.
【请你解答】

(1)设去了$x$个成人,$y$个学生,依题意,得$\begin{cases} x+y=12,\\ 40x+40×0.5y=400,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=8,\\ y=4.\\ \end{cases}$
他们一共去了8个成人,4个学生.
(2)若购买团体票,则总票钱为$16×40×0.6=384$(元),
$\because 384＜400$,
$\therefore$购买团体票更省钱.

例 3 小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，请你试着解决下列问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔这两种文具，共花费 15 元，则有哪几种不同的购买方案？

【规范解答】(1)设小丽购买自动铅笔 x 支，记号笔 y 支. 根据题意，得
$\begin{cases}$
x + y = 5 - 2 \\

(1)设小丽购买自动铅笔 x 支，记号笔 y 支. 根据题意，得
$\begin{cases}$
x + y = 5 - 2 \\
1.5x + 4y = 18.5 - 9
$\end{cases}$
解得
$\begin{cases}$
x = 1 \\
y = 2
$\end{cases}$
答：小丽购买自动铅笔 1 支，记号笔 2 支.
(2)设小丽购买软皮笔记本 m 本，自动铅笔 n 支. 根据题意，得$ \frac{9}{2}m + 1.5n = 15 .$
∵ m ， n 为正整数，
∴
$\begin{cases}$
m = 1 \\
n = 7
$\end{cases}$
或
$\begin{cases}$
m = 2 \\
n = 4
$\end{cases}$
或
$\begin{cases}$
m = 3 \\
n = 1
$\end{cases}$
答：共有 3 种购买方案：1 本软皮笔记本与 7 支自动铅笔；2 本软皮笔记本与 4 支自动铅笔；3 本软皮笔记本与 1 支自动铅笔.