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1. 5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的离差平方和为()
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{6 + 8 + 10 + 7 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8$，
然后，计算每个数据与平均数的差，并求其平方：
$(6 - 8)^2 = (-2)^2 = 4$，
$(8 - 8)^2 = 0^2 = 0$，
$(10 - 8)^2 = 2^2 = 4$，
$(7 - 8)^2 = (-1)^2 = 1$，
$(9 - 8)^2 = 1^2 = 1$，
最后，计算离差平方和：
$4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 10$。
$\bar{x} = \frac{6 + 8 + 10 + 7 + 9}{5} = \frac{40}{5} = 8$，
然后，计算每个数据与平均数的差，并求其平方：
$(6 - 8)^2 = (-2)^2 = 4$，
$(8 - 8)^2 = 0^2 = 0$，
$(10 - 8)^2 = 2^2 = 4$，
$(7 - 8)^2 = (-1)^2 = 1$，
$(9 - 8)^2 = 1^2 = 1$，
最后，计算离差平方和：
$4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 10$。
2. 已知一组数据1，2，3，$x$，5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
已知数据$1,2,3,x,5$的平均数为$3$，则$\frac{1 + 2 + 3 + x + 5}{5}=3$，即$\frac{11 + x}{5}=3$，$11+x = 15$，解得$x = 4$。
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n = 5$，$\overline{x}=3$，$x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=4,x_{5}=5$。
则$s^{2}=\frac{1}{5}[(1 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 1+0 + 1+4)$
$=\frac{1}{5}×10$
$ = 2$
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n = 5$，$\overline{x}=3$，$x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=4,x_{5}=5$。
则$s^{2}=\frac{1}{5}[(1 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 1+0 + 1+4)$
$=\frac{1}{5}×10$
$ = 2$
3. 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：
哪支仪仗队的身高较整齐？()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
哪支仪仗队的身高较整齐？()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
方差是衡量一组数据波动大小的指标，方差越小，数据越集中，身高也就越整齐。根据表格：
甲的方差为0.9；
乙的方差为1.6；
丙的方差为1.1；
丁的方差为0.6。
其中丁的方差最小，因此丁队的身高最整齐。
甲的方差为0.9；
乙的方差为1.6；
丙的方差为1.1；
丁的方差为0.6。
其中丁的方差最小，因此丁队的身高最整齐。
4. 已知一组数据2，4，5，6，5，对该组数据描述正确的是()
A.平均数是4.4
B.中位数是4.5
C.众数是4
D.方差是9.2
A.平均数是4.4
B.中位数是4.5
C.众数是4
D.方差是9.2
答案
A
解析
1. 计算平均数：
平均数$\bar{x}=\frac{2 + 4+5 + 6+5}{5}=\frac{22}{5}=4.4$。
2. 计算中位数：
将数据从小到大排序为$2$，$4$，$5$，$5$，$6$，中位数是$5$（奇数个数据时中位数就是中间的那个数，这里数据个数$n = 5$为奇数，中间的数是第$3$个数$5$），不是$4.5$。
3. 计算众数：
$5$出现了$2$次，出现的次数最多，所以众数是$5$，不是$4$。
4. 计算方差：
方差$s^{2}=\frac{1}{5}×[(2 - 4.4)^{2}+(4 - 4.4)^{2}+(5 - 4.4)^{2}+(6 - 4.4)^{2}+(5 - 4.4)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×[(-2.4)^{2}+(-0.4)^{2}+0.6^{2}+1.6^{2}+0.6^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(5.76 + 0.16+0.36 + 2.56+0.36)$
$=\frac{1}{5}×9.2 = 1.84$，不是$9.2$。
平均数$\bar{x}=\frac{2 + 4+5 + 6+5}{5}=\frac{22}{5}=4.4$。
2. 计算中位数：
将数据从小到大排序为$2$，$4$，$5$，$5$，$6$，中位数是$5$（奇数个数据时中位数就是中间的那个数，这里数据个数$n = 5$为奇数，中间的数是第$3$个数$5$），不是$4.5$。
3. 计算众数：
$5$出现了$2$次，出现的次数最多，所以众数是$5$，不是$4$。
4. 计算方差：
方差$s^{2}=\frac{1}{5}×[(2 - 4.4)^{2}+(4 - 4.4)^{2}+(5 - 4.4)^{2}+(6 - 4.4)^{2}+(5 - 4.4)^{2}]$
$=\frac{1}{5}×[(-2.4)^{2}+(-0.4)^{2}+0.6^{2}+1.6^{2}+0.6^{2}]$
$=\frac{1}{5}×(5.76 + 0.16+0.36 + 2.56+0.36)$
$=\frac{1}{5}×9.2 = 1.84$，不是$9.2$。
5. 已知一组数据的方差$s^{2}=\frac{1}{10}[(x_{1}-20)^{2}+(x_{2}-20)^{2}+···+(x_{10}-20)^{2}]$，则这组数据的和是。
答案
200
解析
根据方差公式，$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}$为这组数据的平均数，$n$为数据个数。
题目中给出$s^{2}=\frac{1}{10}[(x_{1}-20)^{2}+(x_{2}-20)^{2}+···+(x_{10}-20)^{2}]$，由此可知，平均数$\bar{x}=20$，数据个数$n = 10$。
根据平均数的定义$\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+···+x_n}{n}$，设这组数据的和为$x_1 + x_2+···+x_{10}$，则$\frac{x_1 + x_2+···+x_{10}}{10}=20$，所以$x_1 + x_2+···+x_{10}=20×10 = 200$。
题目中给出$s^{2}=\frac{1}{10}[(x_{1}-20)^{2}+(x_{2}-20)^{2}+···+(x_{10}-20)^{2}]$，由此可知，平均数$\bar{x}=20$，数据个数$n = 10$。
根据平均数的定义$\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+···+x_n}{n}$，设这组数据的和为$x_1 + x_2+···+x_{10}$，则$\frac{x_1 + x_2+···+x_{10}}{10}=20$，所以$x_1 + x_2+···+x_{10}=20×10 = 200$。
6. 已知一组数据2，3，5，6，9，则这组数据的离差平方和为；当添加一个数据4后，则这组数据的离差平方和变(填“大”或“小”)；当添加的数为时，该组数据的离差平方和不会变。
答案
30；大；5
解析
原数据2，3，5，6，9，平均数为(2+3+5+6+9)÷5=5。离差平方和为(2-5)²+(3-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(9-5)²=9+4+0+1+16=30。添加数据4后，新数据平均数为(25+4)÷6=29/6，新离差平方和为(2-29/6)²+(3-29/6)²+(4-29/6)²+(5-29/6)²+(6-29/6)²+(9-29/6)²=1110/36≈30.83＞30，故变大。设添加数为x，新平均数为(25+x)/6，要离差平方和不变，则新平均数需为5，即(25+x)/6=5，解得x=5。
7. 某篮球队10名队员的年龄结构如下表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为。
答案
22，1.2
解析
设10名队员年龄从小到大排列，中位数为第5、6个数的平均值21.5，故第5个数为21，第6个数为22。设21岁有x人，22岁有y人，小于21岁的人数为4（前4个数），则4+x+y+其他年龄人数=10。由众数定义，22岁出现次数最多（设为5次），21岁1人，小于21岁共4人（如19岁1人，20岁3人）。
平均数：(19×1+20×3+21×1+22×5)/10=21。
方差：[(19-21)²×1+(20-21)²×3+(21-21)²×1+(22-21)²×5]/10=(4+3+0+5)/10=1.2。
众数为22，方差为1.2。
平均数：(19×1+20×3+21×1+22×5)/10=21。
方差：[(19-21)²×1+(20-21)²×3+(21-21)²×1+(22-21)²×5]/10=(4+3+0+5)/10=1.2。
众数为22，方差为1.2。
8. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示。
（1）请你根据图中的数据填写下表：
（2）将平均数和方差相结合来看，谁的成绩好些？
（1）请你根据图中的数据填写下表：
（2）将平均数和方差相结合来看，谁的成绩好些？
答案
(1)
甲的成绩：6, 7, 8, 7, 7
乙的成绩：3, 6, 6, 7, 8
甲的平均数：
$\frac{6 + 7 + 8 + 7 + 7}{5} = 7$
乙的平均数：
$\frac{3 + 6 + 6 + 7 + 8}{5} = 6 + \frac{4}{5} = 6$（题目中为整数环数，此处平均计算后仍为6，但通常保留分数形式更准确，但按题目要求及常规理解，可视为6，实际计算方差时应用精确值，但此处结果不受影响）$\frac{30}{5}=6+0=6$（环），（精确值为6）
（计算方差等时应用$\frac{3+6+6+7+8}{5}=\frac{30}{5}=6$（环））
甲的众数：7
乙的众数：6
甲的方差：
$\frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (7-7)^2 + (7-7)^2}{5} = \frac{1 + 0 + 1 + 0 + 0}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$
乙的方差：
$\frac{(3-6)^2 + (6-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (8-6)^2}{5} = \frac{9 + 0 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$
填写表格：
| | 平均数/环 | 众数/环 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2)
甲的平均成绩更高，且方差更小，说明甲的成绩更稳定。因此，甲的成绩好些。
甲的成绩：6, 7, 8, 7, 7
乙的成绩：3, 6, 6, 7, 8
甲的平均数：
$\frac{6 + 7 + 8 + 7 + 7}{5} = 7$
乙的平均数：
$\frac{3 + 6 + 6 + 7 + 8}{5} = 6 + \frac{4}{5} = 6$（题目中为整数环数，此处平均计算后仍为6，但通常保留分数形式更准确，但按题目要求及常规理解，可视为6，实际计算方差时应用精确值，但此处结果不受影响）$\frac{30}{5}=6+0=6$（环），（精确值为6）
（计算方差等时应用$\frac{3+6+6+7+8}{5}=\frac{30}{5}=6$（环））
甲的众数：7
乙的众数：6
甲的方差：
$\frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (7-7)^2 + (7-7)^2}{5} = \frac{1 + 0 + 1 + 0 + 0}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$
乙的方差：
$\frac{(3-6)^2 + (6-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 + (8-6)^2}{5} = \frac{9 + 0 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$
填写表格：
| | 平均数/环 | 众数/环 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2)
甲的平均成绩更高，且方差更小，说明甲的成绩更稳定。因此，甲的成绩好些。
