1. 下列性质中，平行四边形一定具备的有().
① 对边平行且相等；② 对角互补；③ 对角线互相平分；④ 对角相等.

A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

B

根据平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；平行四边形的对角相等，并非互补，故②错误。因此①③④正确。

2. 在▱$ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，则下列结论不一定成立的是().

A.$BO = DO$
B.$CD = AB$
C.$∠ BAD = ∠ BCD$
D.$AC = BD$

D

根据平行四边形的性质：
1. 平行四边形对角线互相平分，故$BO=DO$（选项A成立）；
2. 平行四边形对边相等，故$CD=AB$（选项B成立）；
3. 平行四边形对角相等，故$∠BAD=∠BCD$（选项C成立）；
4. 平行四边形的对角线不一定相等，仅矩形（特殊平行四边形）的对角线相等，故$AC=BD$不一定成立。

3. 如图，▱$ABCD$ 的对角线交于点 $O$，$AB = 5$，$△ OCD$ 的周长为 $23$，则 $AC + BD =$.

36

因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=5$，且对角线互相平分，即$AC=2OC$，$BD=2OD$。
已知$△ OCD$的周长为23，即$OC+OD+CD=23$，代入$CD=5$，得$OC+OD=23-5=18$。
因此$AC+BD=2(OC+OD)=2×18=36$。

4. 如图，在▱$ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$. 若 $S_{△ AOB} = 10$，则 $S_{▱ABCD} =$.

40

根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即$AO=OC$，$BO=OD$，可得$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ DOA$的面积相等。已知$S_{△ AOB}=10$，因此$S_{▱ABCD}=4×10=40$。

5. 如图，在▱$ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$△ BOC$ 的周长比 $△ BOA$ 的周长大 $2$. 若 $BC = 10$，则 $AB$ 的长是.

8

因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC$。
$△ BOC$的周长为$BO+OC+BC$，$△ BOA$的周长为$BO+OA+AB$，
由题意得：$(BO+OC+BC)-(BO+OA+AB)=2$，
因为$OA=OC$，$BO$为公共边，化简得$BC-AB=2$。
又因为$BC=10$，所以$10-AB=2$，解得$AB=8$。

6. 如图，在▱$ABCD$ 中，$O$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点，$BE ⊥ AC$，垂足为 $E$，$DF ⊥ AC$，垂足为 $F$，求证 $OE = OF$.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB（平行四边形的对角线互相平分）。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFO=∠BEO=90°。
在△DFO和△BEO中，
$\{\begin{array}{l}∠DFO=∠BEO\\∠DOF=∠BOE\\OD=OB\end{array} $
∴△DFO≌△BEO（AAS），
∴OE=OF。

7. 如图，▱$ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE ⊥ BC$，垂足为 $E$，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 2$，$BD = 4$，则 $AE$ 的长为().

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
D.$\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$

D

1. 由平行四边形对角线互相平分，得$AO=\frac{1}{2}AC=1$，$BO=\frac{1}{2}BD=2$。
2. 在$△ ABO$中，$AB=\sqrt{3}$，$AO=1$，$BO=2$，满足$AO^2+AB^2=BO^2$，故$∠ BAC=90°$。
3. 计算$Rt△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$。
4. 由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{7}$。
5. 因为$AE⊥ BC$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$，代入得$\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}× AE$，解得$AE=\frac{2\sqrt{21}}{7}$。