8. 在▱$ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$. 如果 $AC = 12$，$BD = 10$，$AB = m$，那么 $m$ 的取值范围是.

$1＜m＜11$

根据平行四边形对角线互相平分的性质，得$AO=\frac{1}{2}AC=6$，$BO=\frac{1}{2}BD=5$。在$△ ABO$中，由三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即$AO-BO＜AB＜AO+BO$，代入数值得$6-5＜m＜6+5$，化简得$1＜m＜11$。

9. 如图，在▱$ABCD$ 中，$BD ⊥ AD$，$∠ A = 45°$，点 $E$，$F$ 分别在 $AB$，$CD$ 上，且 $BE = DF$，$EF$ 交 $BD$ 于点 $O$.
(1) 求证 $BO = DO$.
(2) 若 $EF ⊥ AB$，延长 $EF$ 交 $AD$ 的延长线于点 $G$，$FG = \sqrt{2}$，求 $AD$ 的长.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $∠ ODF = ∠ OBE$。
在$△ ODF$和$△ OBE$中，
$\begin{cases}∠ ODF = ∠ OBE \\∠ DOF = ∠ BOE \\DF = BE\end{cases}$
∴ $△ ODF ≌ △ OBE(\mathrm{AAS})$，
∴ $BO = DO$。
(2) 解：
∵ $BD ⊥ AD$，$∠ A = 45°$，
∴ $△ ABD$是等腰直角三角形，$AD = BD$，$∠ ABD = 45°$。
∵ $EF ⊥ AB$，$AB // CD$，
∴ $EF ⊥ CD$，$∠ BEO = ∠ DFG = 90°$，
∴ $△ BOE$是等腰直角三角形，$BE = OE$。
由(1)知$△ ODF ≌ △ OBE$，
∴ $DF = BE$，$OF = OE$。
∵ $∠ A = 45°$，$∠ GEA = 90°$，
∴ $∠ G = 45°$，
又∵ $∠ DFG = 90°$，
∴ $△ DFG$是等腰直角三角形，
∴ $DF = FG = \sqrt{2}$，
∴ $BE = DF = \sqrt{2}$，$OE = \sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOE$中，$BO = \sqrt{BE^2 + OE^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$。
∵ $BO = DO$，
∴ $BD = BO + DO = 4$。
∵ $AD = BD$，
∴ $AD = 4$。
答：$AD$的长为$\boldsymbol{4}$。

10. 探究：如图①，在▱$ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 的直线交 $AD$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$. 直线 $EF$ 是否将▱$ABCD$ 的面积等分？试说明理由，并用自己的话归纳：将平行四边形面积等分的直线的特征.

应用 1：王老师家有一块平行四边形的菜园，园中有一口水井 $P$，如图②所示. 王老师计划把菜园分成面积相等的两块地，且使两块地共用水井，请你在图中画出方案，帮王老师把地分开.
应用 2：杨老师家有如图③所示的菜园（其中 $AB // CD // EF$，$AF // DE // BC$），你能帮杨老师设计一种均分菜园面积的方案吗？请简要说明你的方法，并在图中画出你的方案.

解：
探究
直线$EF$将▱$ABCD$的面积等分，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=CO$，$AD// BC$，
∴$∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$。
在$△ AEO$和$△ CFO$中，
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO\\∠ AEO=∠ CFO\\AO=CO\end{cases}$
∴$△ AEO≌△ CFO$（AAS）。
同理可证$△ DEO≌△ BFO$，$△ DOC≌△ BOA$。
∴$S_{△ AEO}+S_{△ AOB}+S_{△ BFO}=S_{△ CFO}+S_{△ COD}+S_{△ DEO}$，
即直线$EF$将▱$ABCD$的面积等分。
归纳特征：过平行四边形对角线交点的直线，能将平行四边形的面积等分。
应用1
1. 连接▱$ABCD$的对角线$AC$、$BD$，交于点$O$；
2. 作直线$PO$，直线$PO$即为所求分割线。
应用2
1. 延长$DE$交$AB$于点$G$，得平行四边形$AGFE$和$GBCD$；
2. 分别连接$AGFE$的对角线交于点$O_1$，连接$GBCD$的对角线交于点$O_2$；
3. 作直线$O_1O_2$，直线$O_1O_2$即为所求分割线。