23. 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$上，$∠ ADE = ∠ CDF$.
(1) 如图①，求证$AE = CF$.
(2) $FH ⊥ DE$，交$AD$于点$H$，垂足为$G$.
① 如图②，若$AH = AE$，求证$BF = 2FC$；
② 如图③，连接$BG$，若$BG // DF$，直接写出$\dfrac{BF}{FC}$的值.

24. 直线$y = 2x + 4$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，点$C$在$x$轴的正半轴上，$△ ABC$的面积为$10$.
(1) 直接写出点$C$的坐标.
(2) 如图①，$F$为线段$AB$的中点，点$G$在$y$轴上，以$FG$为边，向右作正方形$FGQP$，点$Q$落在直线$BC$上，求点$G$的坐标.
(3) 如图②，点$M$在射线$BA$上，点$N$在射线$BC$上，直线$MN$交$y$轴于点$H$，若$HB = HM$，求$\dfrac{HM}{HN}$的值.

解：
(1) 对于直线$y=2x+4$，
令$y=0$，得$0=2x+4$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$；
令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$。
设$C(c,0)$，$c＞0$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× OB=10$，
$AC=c-(-2)=c+2$，$OB=4$，
则$\frac{1}{2}×(c+2)×4=10$，
解得$c=3$，故$C(3,0)$。
(2) 由$A(-2,0)$，$B(0,4)$，得$AB$中点$F$的坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+4}{2})=(-1,2)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,4)$，$C(3,0)$，
得$\begin{cases}b=4\\3k+4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=4\end{cases}$，
故直线$BC$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x+4$。
设$G(0,m)$，则$FG$的斜率为$\frac{m-2}{0-(-1)}=m-2$，
因为$FGQP$是正方形，所以$FQ⊥ FG$，且$FQ=FG$，
$FQ$的斜率为$-\frac{1}{m-2}$，直线$FQ$的解析式为$y-2=-\frac{1}{m-2}(x+1)$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x+4\\y-2=-\frac{1}{m-2}(x+1)\end{cases}$，
消去$y$得：$-\frac{4}{3}x+2=-\frac{x+1}{m-2}$，
两边乘$3(m-2)$得：$-4x(m-2)+6(m-2)=-3x-3$，
整理得：$x(11-4m)=9-6m$，解得$x=\frac{9-6m}{11-4m}$，
代入$y=-\frac{4}{3}x+4$得$y=\frac{32-8m}{11-4m}$，即$Q(\frac{9-6m}{11-4m},\frac{32-8m}{11-4m})$。
由$FQ=FG$，得：
$(\frac{9-6m}{11-4m}+1)^2+(\frac{32-8m}{11-4m}-2)^2=1^2+(m-2)^2$，
化简得：$\frac{100[(m-2)^2+1]}{(11-4m)^2}=(m-2)^2+1$，
因为$(m-2)^2+1≠0$，所以$\frac{100}{(11-4m)^2}=1$，
即$(11-4m)^2=100$，解得$11-4m=\pm10$，
当$11-4m=10$时，$m=\frac{1}{4}$；当$11-4m=-10$时，$m=\frac{21}{4}$。
故$G$的坐标为$(0,\frac{1}{4})$或$(0,\frac{21}{4})$。
(3) 设$M(a,2a+4)$，$H(0,h)$，
由$HB=HM$，得$|4-h|=\sqrt{a^2+(2a+4-h)^2}$，
平方得：$(4-h)^2=a^2+(2a+4-h)^2$，
展开整理得：$5a+4(4-h)=0$，解得$h=4+\frac{5a}{4}$，即$H(0,4+\frac{5a}{4})$。
直线$MN$的斜率为$\frac{4+\frac{5a}{4}-(2a+4)}{0-a}=\frac{3}{4}$，
解析式为$y=\frac{3}{4}x+4+\frac{5a}{4}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x+4+\frac{5a}{4}\\y=-\frac{4}{3}x+4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-\frac{3a}{5}\\y=4+\frac{4a}{5}\end{cases}$，即$N(-\frac{3a}{5},4+\frac{4a}{5})$。
计算$HM=|4-h|=\left|4-(4+\frac{5a}{4})\right|=\frac{5|a|}{4}$，
$HN=\sqrt{(-\frac{3a}{5}-0)^2+(4+\frac{4a}{5}-(4+\frac{5a}{4}))^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{25}+\frac{81a^2}{400}}=\frac{3|a|}{4}$，
故$\frac{HM}{HN}=\frac{\frac{5|a|}{4}}{\frac{3|a|}{4}}=\frac{5}{3}$。