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一、选择题(请将唯一正确答案的代号填入括号内)
1. 由下列线段 $ a $，$ b $，$ c $ 组成的三角形，是直角三角形的是().
A. $ a = 12 $，$ b = 13 $，$ c = 6 $
B. $ a = 20 $，$ b = 25 $，$ c = 7 $
C. $ a = 24 $，$ b = 25 $，$ c = 8 $
D. $ a = 11 $，$ b = 60 $，$ c = 61 $
1. 由下列线段 $ a $，$ b $，$ c $ 组成的三角形，是直角三角形的是().
A. $ a = 12 $，$ b = 13 $，$ c = 6 $
B. $ a = 20 $，$ b = 25 $，$ c = 7 $
C. $ a = 24 $，$ b = 25 $，$ c = 8 $
D. $ a = 11 $，$ b = 60 $，$ c = 61 $
答案
解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长$a$、$b$、$c$（$c$为最大边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。
选项A：$12^2+6^2=144+36=180$，$13^2=169$，$180≠169$，不是直角三角形；
选项B：$20^2+7^2=400+49=449$，$25^2=625$，$449≠625$，不是直角三角形；
选项C：$24^2+8^2=576+64=640$，$25^2=625$，$640≠625$，不是直角三角形；
选项D：$11^2+60^2=121+3600=3721$，$61^2=3721$，$3721=3721$，是直角三角形。
故选D。
选项A：$12^2+6^2=144+36=180$，$13^2=169$，$180≠169$，不是直角三角形；
选项B：$20^2+7^2=400+49=449$，$25^2=625$，$449≠625$，不是直角三角形；
选项C：$24^2+8^2=576+64=640$，$25^2=625$，$640≠625$，不是直角三角形；
选项D：$11^2+60^2=121+3600=3721$，$61^2=3721$，$3721=3721$，是直角三角形。
故选D。
2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，分别以点 $ A $ 和点 $ C $ 为圆心，以大于 $ \dfrac{1}{2}AC $ 的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于 $ M $，$ N $ 两点，直线 $ MN $ 分别与边 $ BC $，$ AC $ 相交于点 $ D $，$ E $，连接 $ AD $.若 $ BD = DC $，$ AE = 4 $，$ AD = 5 $，则 $ AB $ 的长是().
A.9
B.8
C.7
D.6
A.9
B.8
C.7
D.6
答案
D
解析
1. 由作图可知，MN是AC的垂直平分线，故AD=CD，AE=EC=4，AC=8。
2. 已知BD=DC，因此BD=AD=5，BC=BD+DC=10，且D为BC中点。
3. 由AD=1/2 BC，可得△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。
4. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：AB=√(BC²-AC²)=√(10²-8²)=6。
2. 已知BD=DC，因此BD=AD=5，BC=BD+DC=10，且D为BC中点。
3. 由AD=1/2 BC，可得△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。
4. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：AB=√(BC²-AC²)=√(10²-8²)=6。
3. 在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ BC = 3 $，$ AC = 4 $，则 $ AB $ 的长是().
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.5 或 $ \sqrt{7} $
D.无法确定
A.5
B.$ \sqrt{7} $
C.5 或 $ \sqrt{7} $
D.无法确定
答案
C
解析
本题需分两种情况讨论：
1. 当AB为斜边时，根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
2. 当AC为斜边时，根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
综上，AB的长是5或$\sqrt{7}$。
1. 当AB为斜边时，根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
2. 当AC为斜边时，根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
综上，AB的长是5或$\sqrt{7}$。
4. 三角形三边长分别为 6，8，10，那么这个三角形最长边上的高为().
A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
答案
B
解析
1. 判定三角形形状：计算得6²+8²=36+64=100，10²=100，故6²+8²=10²，根据勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，最长边（斜边）为10。
2. 设最长边上的高为h，利用三角形面积公式：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×h$。
3. 解方程得：$24=5h$，$h=4.8$。
2. 设最长边上的高为h，利用三角形面积公式：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×h$。
3. 解方程得：$24=5h$，$h=4.8$。
5. 有五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，要将它们摆成两个直角三角形，下面的摆法中成立的是().
答案
C
解析
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
1. 选项A：$7^2+24^2=625≠20^2$，$15^2+24^2=801≠25^2$，均不是直角三角形，排除；
2. 选项B：$7^2+24^2=25^2$，是直角三角形，但$15^2+20^2=625≠24^2$，不是直角三角形，排除；
3. 选项C：$15^2+20^2=625=25^2$，是直角三角形；$7^2+24^2=625=25^2$，是直角三角形，符合要求；
4. 选项D：$15^2+20^2=625≠24^2$，$7^2+20^2=449≠25^2$，均不是直角三角形，排除。
综上，成立的摆法是选项C。
1. 选项A：$7^2+24^2=625≠20^2$，$15^2+24^2=801≠25^2$，均不是直角三角形，排除；
2. 选项B：$7^2+24^2=25^2$，是直角三角形，但$15^2+20^2=625≠24^2$，不是直角三角形，排除；
3. 选项C：$15^2+20^2=625=25^2$，是直角三角形；$7^2+24^2=625=25^2$，是直角三角形，符合要求；
4. 选项D：$15^2+20^2=625≠24^2$，$7^2+20^2=449≠25^2$，均不是直角三角形，排除。
综上，成立的摆法是选项C。
6. 如图，有一个小水池，水面是一个边长为 14 dm 的正方形，在水池正中央有一根竖直的芦苇，它高出水面 1 dm，如果把这根芦苇拉向水池一边的端点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度是().
A.15 dm
B.24 dm
C.25 dm
D.28 dm
A.15 dm
B.24 dm
C.25 dm
D.28 dm
答案
B
解析
设水的深度为$ x $ dm，则芦苇长为$ (x+1) $ dm。水面正方形边长为14 dm，正中央到池边的距离为$ 14÷2=7 $ dm。根据勾股定理，列方程：$ x^2 + 7^2 = (x+1)^2 $。展开并化简方程：$ x^2 + 49 = x^2 + 2x + 1 $，解得$ x=24 $。
