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例 1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
$2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{3x^{2}y^{2}}(x≥ 0,y≥ 0)$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{48}$.
$2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{3x^{2}y^{2}}(x≥ 0,y≥ 0)$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{48}$.
答案
解：
先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sqrt{3x^{2}y^{2}}=xy\sqrt{3}\ (x≥0,y≥0)$，
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
同类二次根式分组如下：
被开方数为2的：$\sqrt{8}$与$\sqrt{18}$；
被开方数为3的：$2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{3x^{2}y^{2}}(x≥0,y≥0)$，$\sqrt{48}$。
先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\sqrt{3x^{2}y^{2}}=xy\sqrt{3}\ (x≥0,y≥0)$，
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
同类二次根式分组如下：
被开方数为2的：$\sqrt{8}$与$\sqrt{18}$；
被开方数为3的：$2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{3x^{2}y^{2}}(x≥0,y≥0)$，$\sqrt{48}$。
例 2 计算：
（1）$2\sqrt{2}+\sqrt{3}-3\sqrt{2}-4\sqrt{3}$； （2）$3\sqrt{m}-\sqrt{5}-2\sqrt{4m}-2\sqrt{5}$；
（3）$\sqrt{27}-\sqrt{3}+\sqrt{45}$； （4）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$.
（1）$2\sqrt{2}+\sqrt{3}-3\sqrt{2}-4\sqrt{3}$； （2）$3\sqrt{m}-\sqrt{5}-2\sqrt{4m}-2\sqrt{5}$；
（3）$\sqrt{27}-\sqrt{3}+\sqrt{45}$； （4）$2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$.
答案
解：
$2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$
$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-2\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3})$
$=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
$2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$
$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-2\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3})$
$=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
1. 下列根式中，与$\sqrt{12}$是同类二次根式的是 ()
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{5}$
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{5}$
答案
C
解析
先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
A. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同；
B. $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，与$2\sqrt{3}$的被开方数相同；
D. $\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同。
根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$与$\sqrt{12}$是同类二次根式。
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
A. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数为2，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同；
B. $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，与$2\sqrt{3}$的被开方数相同；
D. $\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，与$2\sqrt{3}$的被开方数不同。
根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$与$\sqrt{12}$是同类二次根式。
2. 有下列等式：① $2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；② $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$；③ $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=3+4=7$；④ $\sqrt{5}+\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{5}+\dfrac{1}{5}\sqrt{5}=\dfrac{6}{5}\sqrt{5}$.其中，正确的有 ()
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
B
解析
逐一分析等式：
①2与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，等式错误；
②$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，等式错误；
③$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5≠7$，等式错误；
④$\sqrt{5}+\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{5}+\dfrac{1}{5}\sqrt{5}=\dfrac{6}{5}\sqrt{5}$，等式正确。
综上，正确的等式有1个。
①2与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，等式错误；
②$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，等式错误；
③$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5≠7$，等式错误；
④$\sqrt{5}+\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{5}+\dfrac{1}{5}\sqrt{5}=\dfrac{6}{5}\sqrt{5}$，等式正确。
综上，正确的等式有1个。
二、填空题
3. 如果最简二次根式 $3\sqrt{3a - 4}$ 和 $2\sqrt{11 - 2a}$ 是同类二次根式，那么 $a$ 的值为，这两个二次根式的和为.
3. 如果最简二次根式 $3\sqrt{3a - 4}$ 和 $2\sqrt{11 - 2a}$ 是同类二次根式，那么 $a$ 的值为，这两个二次根式的和为.
答案
解：
因为最简二次根式$3\sqrt{3a - 4}$和$2\sqrt{11 - 2a}$是同类二次根式，
所以$3a - 4 = 11 - 2a$，
移项得：$3a + 2a = 11 + 4$，
合并同类项得：$5a = 15$，
解得：$a = 3$。
将$a = 3$代入，得$3\sqrt{3a - 4}=3\sqrt{5}$，$2\sqrt{11 - 2a}=2\sqrt{5}$，
则两个二次根式的和为：$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{3}$，这两个二次根式的和为$\boldsymbol{5\sqrt{5}}$。
因为最简二次根式$3\sqrt{3a - 4}$和$2\sqrt{11 - 2a}$是同类二次根式，
所以$3a - 4 = 11 - 2a$，
移项得：$3a + 2a = 11 + 4$，
合并同类项得：$5a = 15$，
解得：$a = 3$。
将$a = 3$代入，得$3\sqrt{3a - 4}=3\sqrt{5}$，$2\sqrt{11 - 2a}=2\sqrt{5}$，
则两个二次根式的和为：$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{3}$，这两个二次根式的和为$\boldsymbol{5\sqrt{5}}$。
