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4. 已知两个正方形的面积分别为 $5\ \mathrm{cm}^{2}$，$45\ \mathrm{cm}^{2}$，则这两个正方形的周长和为$\mathrm{cm}$.
答案
$16\sqrt{5}$
解析
先根据正方形面积公式求出边长：
面积为$5\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，周长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
面积为$45\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，周长为$4×3\sqrt{5}=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
两个正方形的周长和为$4\sqrt{5}+12\sqrt{5}=16\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
面积为$5\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，周长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
面积为$45\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，周长为$4×3\sqrt{5}=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
两个正方形的周长和为$4\sqrt{5}+12\sqrt{5}=16\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
三、解答题
5. 化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式：
（1）$3\sqrt{12}$与$\sqrt{27}$； （2）$\sqrt{50}$与$2\sqrt{8}$； （3）$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$与$3\sqrt{48}$.
5. 化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式：
（1）$3\sqrt{12}$与$\sqrt{27}$； （2）$\sqrt{50}$与$2\sqrt{8}$； （3）$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$与$3\sqrt{48}$.
答案
解：
（1）$3\sqrt{12}=3\sqrt{4×3}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
因为化成最简二次根式后被开方数都是3，所以$3\sqrt{12}$与$\sqrt{27}$是同类二次根式。
（2）$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
$2\sqrt{8}=2\sqrt{4×2}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
因为化成最简二次根式后被开方数都是2，所以$\sqrt{50}$与$2\sqrt{8}$是同类二次根式。
（3）$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{\dfrac{5}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$
$3\sqrt{48}=3\sqrt{16×3}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
因为化成最简二次根式后被开方数分别是10和3，不相同，所以$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$与$3\sqrt{48}$不是同类二次根式。
（1）$3\sqrt{12}=3\sqrt{4×3}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
因为化成最简二次根式后被开方数都是3，所以$3\sqrt{12}$与$\sqrt{27}$是同类二次根式。
（2）$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
$2\sqrt{8}=2\sqrt{4×2}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
因为化成最简二次根式后被开方数都是2，所以$\sqrt{50}$与$2\sqrt{8}$是同类二次根式。
（3）$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{\dfrac{5}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$
$3\sqrt{48}=3\sqrt{16×3}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
因为化成最简二次根式后被开方数分别是10和3，不相同，所以$2\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$与$3\sqrt{48}$不是同类二次根式。
6. 计算：
（1）$2\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}-3\sqrt{2}$； （2）$4\sqrt{3}-5\sqrt{75}-\sqrt{27}$；
（3）$\sqrt{72}-\sqrt{18}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$； （4）$\sqrt{32}-\sqrt{12}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
（5）$2\sqrt{12}-3\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{48}$； （6）$(\sqrt{0.5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$.
（1）$2\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}-3\sqrt{2}$； （2）$4\sqrt{3}-5\sqrt{75}-\sqrt{27}$；
（3）$\sqrt{72}-\sqrt{18}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$； （4）$\sqrt{32}-\sqrt{12}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
（5）$2\sqrt{12}-3\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{48}$； （6）$(\sqrt{0.5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$.
答案
解：
（1）$2\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}-3\sqrt{2}$
$=(2\sqrt{5}+\sqrt{5})+(-\sqrt{2}-3\sqrt{2})$
$=3\sqrt{5}-4\sqrt{2}$
（2）$4\sqrt{3}-5\sqrt{75}-\sqrt{27}$
$=4\sqrt{3}-5×5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-25\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=(4-25-3)\sqrt{3}$
$=-24\sqrt{3}$
（3）$\sqrt{72}-\sqrt{18}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
$=(6-3+\dfrac{5}{2})\sqrt{2}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{2}$
（4）$\sqrt{32}-\sqrt{12}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\dfrac{4\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=(4\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$
$=6\sqrt{2}-\dfrac{7}{3}\sqrt{3}$
（5）$2\sqrt{12}-3\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{48}$
$=2×2\sqrt{3}-3×\dfrac{\sqrt{3}}{9}+3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+12\sqrt{3}$
$=(4+12-\dfrac{1}{3})\sqrt{3}$
$=\dfrac{47}{3}\sqrt{3}$
（6）$(\sqrt{0.5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$
$=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2\sqrt{\dfrac{1}{8}}+\sqrt{75}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}+5\sqrt{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+5\sqrt{3}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{3})$
$=\dfrac{14}{3}\sqrt{3}$
（1）$2\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}-3\sqrt{2}$
$=(2\sqrt{5}+\sqrt{5})+(-\sqrt{2}-3\sqrt{2})$
$=3\sqrt{5}-4\sqrt{2}$
（2）$4\sqrt{3}-5\sqrt{75}-\sqrt{27}$
$=4\sqrt{3}-5×5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-25\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=(4-25-3)\sqrt{3}$
$=-24\sqrt{3}$
（3）$\sqrt{72}-\sqrt{18}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\dfrac{5}{2}\sqrt{2}$
$=(6-3+\dfrac{5}{2})\sqrt{2}$
$=\dfrac{11}{2}\sqrt{2}$
（4）$\sqrt{32}-\sqrt{12}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\dfrac{4\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=(4\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(-2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$
$=6\sqrt{2}-\dfrac{7}{3}\sqrt{3}$
（5）$2\sqrt{12}-3\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{48}$
$=2×2\sqrt{3}-3×\dfrac{\sqrt{3}}{9}+3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+12\sqrt{3}$
$=(4+12-\dfrac{1}{3})\sqrt{3}$
$=\dfrac{47}{3}\sqrt{3}$
（6）$(\sqrt{0.5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$
$=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2\sqrt{\dfrac{1}{8}}+\sqrt{75}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-2×\dfrac{\sqrt{2}}{4}+5\sqrt{3}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+5\sqrt{3}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2})+(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{3})$
$=\dfrac{14}{3}\sqrt{3}$
7. 已知 $a$ 为有理数，化简：$\sqrt{-a^{3}}+a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$.（提示：先考虑 $a$ 的符号）
答案
解：
由二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}-a^3≥0\\-\dfrac{1}{a}≥0\\a≠0\end{cases}$
解得$a＜0$。
$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=a\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=a·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=a·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\sqrt{-a}$
原式$=-a\sqrt{-a}-\sqrt{-a}=-(a+1)\sqrt{-a}$
由二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}-a^3≥0\\-\dfrac{1}{a}≥0\\a≠0\end{cases}$
解得$a＜0$。
$\sqrt{-a^3}=\sqrt{a^2·(-a)}=|a|\sqrt{-a}=-a\sqrt{-a}$
$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=a\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=a·\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=a·\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\sqrt{-a}$
原式$=-a\sqrt{-a}-\sqrt{-a}=-(a+1)\sqrt{-a}$
