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4. 有一个长方体铁块，长40cm，宽30cm，高10cm。把它锻造成一个底面积为$\boldsymbol{800cm^{2}}$的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
答案
$40×30×10=12000$（$cm³$）
$12000×3÷800=45$（$cm$）
答：这个圆锥形铁块的高是45厘米。
$12000×3÷800=45$（$cm$）
答：这个圆锥形铁块的高是45厘米。
解析
【分析】
这道题的关键是明确锻造前后铁块的体积不变，即长方体铁块的体积等于圆锥形铁块的体积。解题思路如下：
1. 先利用长方体体积公式计算出铁块的体积，这也是圆锥的体积；
2. 回忆圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，通过公式变形得到求圆锥高的式子$h=\frac{3V}{S}$；
3. 将算出的体积和已知的圆锥底面积代入变形后的式子，即可求出圆锥的高。
【解析】
1. 计算长方体铁块的体积：
$V_{长方体}=长×宽×高=40×30×10=12000$（$cm³$）
由于锻造前后体积不变，所以圆锥形铁块的体积$V_{圆锥}=12000cm³$
2. 根据圆锥体积公式变形求高：
由$V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$可得$h=\frac{3V_{圆锥}}{S}$，代入数据：
$h=12000×3÷800=45$（$cm$）
答：这个圆锥形铁块的高是45厘米。
【答案】
45厘米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积公式应用、锻造体积不变原理
【点评】
本题重点考查对“锻造前后体积不变”这一隐含条件的把握，以及长方体和圆锥体积公式的灵活运用，需要学生熟练掌握公式变形，理清已知量与未知量的关系。
【难度系数】
0.6
这道题的关键是明确锻造前后铁块的体积不变，即长方体铁块的体积等于圆锥形铁块的体积。解题思路如下：
1. 先利用长方体体积公式计算出铁块的体积，这也是圆锥的体积；
2. 回忆圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，通过公式变形得到求圆锥高的式子$h=\frac{3V}{S}$；
3. 将算出的体积和已知的圆锥底面积代入变形后的式子，即可求出圆锥的高。
【解析】
1. 计算长方体铁块的体积：
$V_{长方体}=长×宽×高=40×30×10=12000$（$cm³$）
由于锻造前后体积不变，所以圆锥形铁块的体积$V_{圆锥}=12000cm³$
2. 根据圆锥体积公式变形求高：
由$V_{圆锥}=\frac{1}{3}Sh$可得$h=\frac{3V_{圆锥}}{S}$，代入数据：
$h=12000×3÷800=45$（$cm$）
答：这个圆锥形铁块的高是45厘米。
【答案】
45厘米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积公式应用、锻造体积不变原理
【点评】
本题重点考查对“锻造前后体积不变”这一隐含条件的把握，以及长方体和圆锥体积公式的灵活运用，需要学生熟练掌握公式变形，理清已知量与未知量的关系。
【难度系数】
0.6
一、有一张长31.4cm、宽25.12cm的长方形纸，用这张纸卷成一个圆筒，给这个圆筒配装下面哪种图形(单位：cm)的底面(不考虑接头部分)，做成的圆柱形容器容积最大？容积最大是多少？(结果保留一位小数。)
① ② ③
① ② ③
答案
第一种情况：
底面半径：$31.4÷(2×3.14)=5(\mathrm{cm})$
容积：$3.14×5^2×25.12$
$=3.14×25×25.12$
$=78.5×25.12$
$\approx1971.9(\mathrm{cm}^3)$
第二种情况：
底面半径：$25.12÷(2×3.14)=4(\mathrm{cm})$
容积：$3.14×4^2×31.4$
$=3.14×16×31.4$
$=50.24×31.4$
$\approx1577.5(\mathrm{cm}^3)$
$1971.9 ＞ 1577.5$
答：配图形③的底面做成的圆柱形容器容积最大，容积最大是$1971.9\mathrm{cm}^3$。
底面半径：$31.4÷(2×3.14)=5(\mathrm{cm})$
容积：$3.14×5^2×25.12$
$=3.14×25×25.12$
$=78.5×25.12$
$\approx1971.9(\mathrm{cm}^3)$
第二种情况：
底面半径：$25.12÷(2×3.14)=4(\mathrm{cm})$
容积：$3.14×4^2×31.4$
$=3.14×16×31.4$
$=50.24×31.4$
$\approx1577.5(\mathrm{cm}^3)$
$1971.9 ＞ 1577.5$
答：配图形③的底面做成的圆柱形容器容积最大，容积最大是$1971.9\mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确用长方形纸卷圆筒有两种不同的卷法：第一种是把长方形的长作为圆柱底面的周长，宽作为圆柱的高；第二种是把长方形的宽作为圆柱底面的周长，长作为圆柱的高。我们需要分别计算这两种情况下圆柱的容积，再通过比较容积大小，确定哪种底面合适，以及最大容积是多少。具体步骤为：先根据圆的周长公式求出两种情况的底面半径，再利用圆柱容积公式（容积=底面积×高）计算容积，最后对比结果。
【解析】
第一种情况：以长方形的长$31.4\mathrm{cm}$作为圆柱底面的周长，宽$25.12\mathrm{cm}$作为圆柱的高。
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入数据：
$31.4÷(2×3.14)=5(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱容积：
圆柱容积公式为$V=π r^2h$，代入数据：
$3.14×5^2×25.12$
$=3.14×25×25.12$
$=78.5×25.12$
$\approx1971.9(\mathrm{cm}^3)$
第二种情况：以长方形的宽$25.12\mathrm{cm}$作为圆柱底面的周长，长$31.4\mathrm{cm}$作为圆柱的高。
1. 求底面半径：
$25.12÷(2×3.14)=4(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱容积：
$3.14×4^2×31.4$
$=3.14×16×31.4$
$=50.24×31.4$
$\approx1577.5(\mathrm{cm}^3)$
对比两种情况的容积：$1971.9 ＞ 1577.5$
【答案】
配图形③的底面做成的圆柱形容器容积最大，容积最大是$1971.9\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆柱容积计算、圆的周长公式
【点评】
本题需要注意长方形卷成圆柱有两种不同的方式，不能遗漏其中一种情况。计算过程中要准确运用圆的周长公式和圆柱容积公式，仔细计算避免出错，通过对比两种情况的容积得出最终结论。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要明确用长方形纸卷圆筒有两种不同的卷法：第一种是把长方形的长作为圆柱底面的周长，宽作为圆柱的高；第二种是把长方形的宽作为圆柱底面的周长，长作为圆柱的高。我们需要分别计算这两种情况下圆柱的容积，再通过比较容积大小，确定哪种底面合适，以及最大容积是多少。具体步骤为：先根据圆的周长公式求出两种情况的底面半径，再利用圆柱容积公式（容积=底面积×高）计算容积，最后对比结果。
【解析】
第一种情况：以长方形的长$31.4\mathrm{cm}$作为圆柱底面的周长，宽$25.12\mathrm{cm}$作为圆柱的高。
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入数据：
$31.4÷(2×3.14)=5(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱容积：
圆柱容积公式为$V=π r^2h$，代入数据：
$3.14×5^2×25.12$
$=3.14×25×25.12$
$=78.5×25.12$
$\approx1971.9(\mathrm{cm}^3)$
第二种情况：以长方形的宽$25.12\mathrm{cm}$作为圆柱底面的周长，长$31.4\mathrm{cm}$作为圆柱的高。
1. 求底面半径：
$25.12÷(2×3.14)=4(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱容积：
$3.14×4^2×31.4$
$=3.14×16×31.4$
$=50.24×31.4$
$\approx1577.5(\mathrm{cm}^3)$
对比两种情况的容积：$1971.9 ＞ 1577.5$
【答案】
配图形③的底面做成的圆柱形容器容积最大，容积最大是$1971.9\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆柱容积计算、圆的周长公式
【点评】
本题需要注意长方形卷成圆柱有两种不同的方式，不能遗漏其中一种情况。计算过程中要准确运用圆的周长公式和圆柱容积公式，仔细计算避免出错，通过对比两种情况的容积得出最终结论。
【难度系数】
0.6
二、现有40kg含盐率为20%的盐水，加入多少千克水就能得到含盐率为8%的盐水？
C
C
答案
方法一（算术法）：
40×20%=8（千克）
8÷8%=100（千克）
100-40=60（千克）
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
方法二（方程法）：
解：设加入x千克水。
40×20%=(40+x)×8%
8=3.2+0.08x
0.08x=4.8
x=60
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
40×20%=8（千克）
8÷8%=100（千克）
100-40=60（千克）
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
方法二（方程法）：
解：设加入x千克水。
40×20%=(40+x)×8%
8=3.2+0.08x
0.08x=4.8
x=60
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
解析
【分析】
这道题属于浓度问题，解题核心是抓住“加水前后盐的质量不变”这一关键。我们可以先算出原盐水中盐的质量，由于加水后盐的质量不变，再结合后来的含盐率求出加水后盐水的总质量，用总质量减去原盐水质量得到需加水的质量；也可通过方程法，设加入水的质量为未知数，根据“原盐的质量=加水后盐的质量”的等量关系列方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算原盐水中盐的质量：
$40×20\% = 8$（千克）
2. 根据后来的含盐率计算加水后盐水总质量：
$8÷8\% = 100$（千克）
3. 计算需要加入的水的质量：
$100 - 40 = 60$（千克）
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
方法二（方程法）：
解：设加入$x$千克水。
根据加水前后盐的质量不变，列方程：
$40×20\%=(40+x)×8\%$
化简得：
$8 = 3.2 + 0.08x$
移项计算：
$0.08x = 8 - 3.2$
$0.08x = 4.8$
解得：
$x = 60$
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
【答案】
60千克
【知识点】
1. 浓度问题计算
2. 列方程解应用题
【点评】
本题的突破口是“盐的质量不变”这一不变量，算术法通过不变量逐步推导，思路清晰直接；方程法利用等量关系建模，逻辑直观易懂。两种方法从不同角度解决问题，能帮助学生理解浓度问题的本质。
【难度系数】
0.7
这道题属于浓度问题，解题核心是抓住“加水前后盐的质量不变”这一关键。我们可以先算出原盐水中盐的质量，由于加水后盐的质量不变，再结合后来的含盐率求出加水后盐水的总质量，用总质量减去原盐水质量得到需加水的质量；也可通过方程法，设加入水的质量为未知数，根据“原盐的质量=加水后盐的质量”的等量关系列方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算原盐水中盐的质量：
$40×20\% = 8$（千克）
2. 根据后来的含盐率计算加水后盐水总质量：
$8÷8\% = 100$（千克）
3. 计算需要加入的水的质量：
$100 - 40 = 60$（千克）
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
方法二（方程法）：
解：设加入$x$千克水。
根据加水前后盐的质量不变，列方程：
$40×20\%=(40+x)×8\%$
化简得：
$8 = 3.2 + 0.08x$
移项计算：
$0.08x = 8 - 3.2$
$0.08x = 4.8$
解得：
$x = 60$
答：加入60千克水就能得到含盐率为8%的盐水。
【答案】
60千克
【知识点】
1. 浓度问题计算
2. 列方程解应用题
【点评】
本题的突破口是“盐的质量不变”这一不变量，算术法通过不变量逐步推导，思路清晰直接；方程法利用等量关系建模，逻辑直观易懂。两种方法从不同角度解决问题，能帮助学生理解浓度问题的本质。
【难度系数】
0.7
小红看一本小说，第一天看的比总页数的$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$多19页，第二天看的比总页数的$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$多17页，这时还剩59页没看。这本小说共多少页？
答案
解：设这本小说共$x$页。
$\frac{1}{12}x + 19 + \frac{1}{8}x + 17 + 59 = x$
$\frac{5}{24}x + 95 = x$
$x - \frac{5}{24}x = 95$
$\frac{19}{24}x = 95$
$x = 95 ÷ \frac{19}{24}$
$x = 120$
答：这本小说共120页。
$\frac{1}{12}x + 19 + \frac{1}{8}x + 17 + 59 = x$
$\frac{5}{24}x + 95 = x$
$x - \frac{5}{24}x = 95$
$\frac{19}{24}x = 95$
$x = 95 ÷ \frac{19}{24}$
$x = 120$
答：这本小说共120页。
解析
【分析】
这是一道分数应用题，解题关键是找准等量关系。我们把这本小说的总页数看作单位“1”，由于总页数未知，采用方程法求解更直观。先设总页数为$x$页，根据题目描述分别表示出第一天、第二天看的页数，再依据“第一天看的页数+第二天看的页数+剩余页数=总页数”这个等量关系列方程，最后解方程就能求出总页数。
【解析】
解：设这本小说共$x$页。
$\begin{aligned}\frac{1}{12}x + 19 + \frac{1}{8}x + 17 + 59 &= x\\frac{2}{24}x + \frac{3}{24}x + 95 &= x\\frac{5}{24}x + 95 &= x\\x - \frac{5}{24}x &= 95\\frac{19}{24}x &= 95\\x &= 95 ÷ \frac{19}{24}\\x &= 95 × \frac{24}{19}\\x &= 120\end{aligned}$
答：这本小说共120页。
【答案】
120页
【知识点】
列方程解应用题、分数四则运算、分数应用题
【点评】
本题是典型的分数应用题，核心在于确定单位“1”和等量关系。通过设总页数为未知数，将各部分页数用含未知数的式子表示，再根据总页数的组成列方程，能清晰梳理数量关系，帮助学生掌握用方程解决分数问题的方法。
【难度系数】
0.6
这是一道分数应用题，解题关键是找准等量关系。我们把这本小说的总页数看作单位“1”，由于总页数未知，采用方程法求解更直观。先设总页数为$x$页，根据题目描述分别表示出第一天、第二天看的页数，再依据“第一天看的页数+第二天看的页数+剩余页数=总页数”这个等量关系列方程，最后解方程就能求出总页数。
【解析】
解：设这本小说共$x$页。
$\begin{aligned}\frac{1}{12}x + 19 + \frac{1}{8}x + 17 + 59 &= x\\frac{2}{24}x + \frac{3}{24}x + 95 &= x\\frac{5}{24}x + 95 &= x\\x - \frac{5}{24}x &= 95\\frac{19}{24}x &= 95\\x &= 95 ÷ \frac{19}{24}\\x &= 95 × \frac{24}{19}\\x &= 120\end{aligned}$
答：这本小说共120页。
【答案】
120页
【知识点】
列方程解应用题、分数四则运算、分数应用题
【点评】
本题是典型的分数应用题，核心在于确定单位“1”和等量关系。通过设总页数为未知数，将各部分页数用含未知数的式子表示，再根据总页数的组成列方程，能清晰梳理数量关系，帮助学生掌握用方程解决分数问题的方法。
【难度系数】
0.6
