1. A,B 两个小镇在河流的同侧,随着居民用水量的增加,现需要在河边 l 上修建一个自来水厂 P,分别向两个小镇供水.要使所用水管总长度最短,则下列图形中,自来水厂 P 的位置正确的是 ()

A.
B.
C.
D.

1. B

2. 如图,△ABD 和△ACD 关于 AD 所在的直线对称.若$ S_{△ABC}=12,$则图中阴影部分面积为.

2. 6

3. 如图,在正方形网格中有 M,N 两点,在直线 l 上求一点 P,使 PM+PN 最短.
(1)画出点 P 的位置.

(2)下列依据中,在(1)中用到的有. (填序号)
①两点之间线段最短:
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等;
④三角形两边之和大于第三边.

3. 解:(1)

 (2)①②④

4. 如图,在△ABC 中,BA=BC=10,BD 是边 AC 的中线,E 是边 BD 上的动点,F 是边 BC 上的动点.若 CE+EF 的最小值为 9.6,则△ABC 的面积为 ()

A.96
B.48
C.38
D.24

4. B

5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,则阴影部分的面积为.

5. 2

6. 如图,在正方形网格中,点 A,B,C,M,N 都在格点上.

(1)以直线 MN 为对称轴,画出△ABC 的对称图形△A'B'C'.
(2)在直线 MN 上找到一点 P,使得△PAC 的周长最小.

1. （1）
步骤一：根据对称点的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分。
过点$A$作$AD⊥ MN$于点$D$，延长$AD$，使$A'D = AD$，得到$A$关于直线$MN$的对称点$A'$。
过点$B$作$BE⊥ MN$于点$E$，延长$BE$，使$B'E = BE$，得到$B$关于直线$MN$的对称点$B'$。
过点$C$作$CF⊥ MN$于点$F$，延长$CF$，使$C'F = CF$，得到$C$关于直线$MN$的对称点$C'$。
步骤二：连接$A'B'$，$B'C'$，$A'C'$，则$△ A'B'C'$就是$△ ABC$关于直线$MN$的对称图形。
2. （2）
步骤一：根据两点之间线段最短的原理。
连接$A'C$（或$AC'$），与直线$MN$的交点即为点$P$。
理由：因为$PA = PA'$（对称轴的性质：对称轴上的点到对称点的距离相等），$△ PAC$的周长$=PA + PC+AC$，$AC$的长度是定值，所以当$PA + PC$最小时，$△ PAC$的周长最小。而$PA + PC=PA'+PC$，当$A'$，$P$，$C$三点共线时，$PA'+PC = A'C$（两点之间线段最短），此时$PA + PC$最小。
综上，（1）按上述方法画出$△ A'B'C'$；（2）连接$A'C$（或$AC'$）与直线$MN$的交点就是所求的点$P$。

7. (2024·绥化)如图,已知∠AOB=50°,P 为∠AOB 内部一点,M,N 分别为射线 OA、射线 OB 上的两个动点.当△PMN 的周长最小时,∠MPN=.

7. 80°